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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一个Hermitian矩阵特征值的问题
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shenjianzi

新虫 (小有名气)

[求助] 一个Hermitian矩阵特征值的问题 已有1人参与

设A,B,C,D均为半正定的Hermitian矩阵，且C=A-B，问DA的最小特征值是不是大于DC的特征值。我可以确定A的最小特征值大于等于C的最小特征值。
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1楼 2014-02-16 16:12:26
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
设A， B， C， D都是二维对角阵，A=D=diag(2,1), B=(1,2).
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-02-17 13:52:41
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cooooldog

铁杆木虫 (著名写手)

ส็็็
可以作Schur分解然后再看
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ส็็็็็็็็็็็็็็็็็็็็
3楼2014-02-17 21:17:42
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2014-02-17 13:52:41
设A， B， C， D都是二维对角阵，A=D=diag(2,1), B=(1,2).

这个例子似乎不行。C在这种情况下不是半正定了。
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4楼2014-02-18 11:53:03
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 秋雨飞叶 at 2014-02-18 11:53:03
这个例子似乎不行。C在这种情况下不是半正定了。...

恩， 欠考虑了。那么修改一下， 还是二维对角阵，

D=diag(3, 1), B=diag(1,2), C=diag(2,1).
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We_must_know. We_will_know.
5楼2014-02-18 12:14:44
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by hank612 at 2014-02-18 12:14:44
恩， 欠考虑了。那么修改一下， 还是二维对角阵，

D=diag(3, 1), B=diag(1,2), C=diag(2,1)....

还是不行，问题里面假设 C=A-B.
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6楼2014-02-18 15:04:23
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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
由于Hermitian矩阵的成绩不一定是Hermitian的，所以不能保证特征值都是实数，这种情况下没法比较特征值的大小。如果假设A, B，C，D都是实矩阵，则可以证明DA的最小特征值大于DC的最小特征值。这里假设半正定是指所有特征值非负。利用下面的性质即可证明:
AB和A^{1/2}BA^{1/2}具有相同的非零特征值，这里A^{1/2}是一个symmetric 矩阵且它的平方等于A。
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7楼2014-02-18 19:33:32
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