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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 二阶常微分方程求解
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xuruiwei

木虫 (小有名气)

[求助] 二阶常微分方程求解

一个径向对称函数$u(r)$满足以下二阶常微分方程
$$ u_{rr} u_r u^4=r $$
求解此方程?  
我已观察出它的一个特解 $u=\sqrt{a+br^2}$, $a>0, b>0, ab^2=1$.
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1楼 2013-01-18 04:28:32
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digghost

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
搂住厉害,你观察出来的也不是特解呀,你的函数里不是有两个待定系数么,2阶的通解救只有两个待定系数把
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» 本帖已获得的红花（最新10朵）

xuruiwei
呵呵了
2楼2013-01-18 19:15:52
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xuruiwei

木虫 (小有名气)
送鲜花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by digghost at 2013-01-18 19:15:52
搂住厉害,你观察出来的也不是特解呀,你的函数里不是有两个待定系数么,2阶的通解救只有两个待定系数把

我不确定有没有其他的解，不知道如何解这个方程。  谢谢交流
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3楼2013-01-19 03:05:31
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xiaojixiong

金虫 (小有名气)
楼主，我想向您请教个方程，烦请您看看我的这个贴中的方程，你能帮我找到它的通解不？谢谢了。http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=5434365
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4楼2013-01-20 11:33:46
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xuruiwei

木虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by digghost at 2013-01-18 19:15:52
搂住厉害,你观察出来的也不是特解呀,你的函数里不是有两个待定系数么,2阶的通解救只有两个待定系数把

谢谢，你对这个问题感兴趣！
其实解里面的两个参数是一个，因为 ab=1.  
不知道还有其它的解，没有。
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5楼2013-04-01 07:45:32
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weft

木虫 (正式写手)
这个方程的背景是什么？
我算了一下，得到了当r趋于无穷时解的阶数的估计，离精确解还差得比较远。
另外，是否可以试一下幂级数解法？太繁琐了，我没算。但是这个方法至少能够得到你观察的那个特解吧，看看是否能有其它的解。
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6楼2013-04-03 02:05:15
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