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我要飞

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[求助] 如何求此积分

如何求此积分？

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(\pi s)}{|x-s|^{\alpha-1}}ds$

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1楼 2012-12-22 10:33:00

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Dawang16

木虫 (职业作家)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

不能求它的具体表达式，但是可以通过数值积分求，可以自己编程序求，或在Matlab中用quad函数组求，很简单！

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2楼2012-12-22 11:08:33

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fdliuqing

禁虫 (正式写手)

感谢参与，应助指数 +1

本帖内容被屏蔽

3楼2012-12-22 14:08:45

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feifx2012

铁虫 (正式写手)

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专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这是反常积分那里边的，所以呢，直接算比较难，只有通过一些软件

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4楼2012-12-22 17:25:22

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kanger0

木虫 (小有名气)

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当 $1<\alpha<2$ 时对任意x积分都有意义。

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin \pi s}{|x-s|^{\alpha-1}}ds$
$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin\pi(x-y)}{|y|^{\alpha-1}}dy$
$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin\pi x cos\pi y-cos\pi x\sin\pi y}{|y|^{\alpha-1}}dy$
$=2sin\pi x\int_0^{\infty}\frac{cos\pi y}{|y|^{\alpha-1}}dy$
$=2sin\pi x\int_0^{\infty}cos\pi y \frac{1}{\Gamma(\alpha-1)}\int_0^{\infty}z^{\alpha-2}e^{-zy}dz$
$=\frac{2sin\pi x}{\Gamma(\alpha-1)}\int_0^{\infty}z^{\alpha-2}dz\int_0^{\infty}cos\pi ye^{-zy}dy$
$=\frac{2sin\pi x}{\Gamma(\alpha-1)}\int_0^{\infty}\frac{z^{\alpha-1}}{z^2+\pi^2}dz$
=\frac{\pi^{\alpha-1}2sin\pi x}{2\Gamma(\alpha-1)cos \frac{(\alpha-1)\pi}{2}}

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5楼2012-12-23 14:49:33

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kanger0

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
我要飞: 金币+20 2012-12-23 20:19:44

引用回帖:

5楼: Originally posted by kanger0 at 2012-12-23 14:49:33
当1<\alpha<2时对任意x积分都有意义。

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin \pi s}{|x-s|^{\alpha-1}}ds
=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin\pi(x-y)}{|y|^{\alpha-1}}dy
=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{s ...

答案:
$=\frac{\pi^{\alpha-1}2sin\pi x}{2\Gamma(\alpha-1)cos \frac{(\alpha-1)\pi}{2}}$

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6楼2012-12-23 14:51:05

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我要飞

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引用回帖:

6楼: Originally posted by kanger0 at 2012-12-23 14:51:05
答案:
=\frac{\pi^{\alpha-1}2sin\pi x}{2\Gamma(\alpha-1)cos \frac{(\alpha-1)\pi}{2}}...

第一步作变量代换s=x-y；
第三步利用奇函数、偶函数在对称区间上的积分的性质；
第四步利用Gamma函数的定义与性质，将1/y^s化成积分
第五步交换积分次序
第六步直接积分， e^{ax}cosbx 的积分可以直接求出；
第七步利用变量变换化为Beta函数，最后利用Beta函数与Gamma函数的关系就得到结果。

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7楼2012-12-23 20:19:00

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woshaopan

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试试maple，不过对alpha有要求

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8楼2013-03-12 11:11:02

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