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我要飞

铁虫 (正式写手)

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[求助] 如何求此积分

如何求此积分？

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(\pi s)}{|x-s|^{\alpha-1}}ds$

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1楼 2012-12-22 10:33:00

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kanger0

木虫 (小有名气)

应助: 39 (小学生)
金币: 2671.7
红花: 2
帖子: 131
在线: 107.2小时
虫号: 954874
注册: 2010-02-11
专业: 概率论与随机分析

当 $1<\alpha<2$ 时对任意x积分都有意义。

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin \pi s}{|x-s|^{\alpha-1}}ds$
$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin\pi(x-y)}{|y|^{\alpha-1}}dy$
$=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin\pi x cos\pi y-cos\pi x\sin\pi y}{|y|^{\alpha-1}}dy$
$=2sin\pi x\int_0^{\infty}\frac{cos\pi y}{|y|^{\alpha-1}}dy$
$=2sin\pi x\int_0^{\infty}cos\pi y \frac{1}{\Gamma(\alpha-1)}\int_0^{\infty}z^{\alpha-2}e^{-zy}dz$
$=\frac{2sin\pi x}{\Gamma(\alpha-1)}\int_0^{\infty}z^{\alpha-2}dz\int_0^{\infty}cos\pi ye^{-zy}dy$
$=\frac{2sin\pi x}{\Gamma(\alpha-1)}\int_0^{\infty}\frac{z^{\alpha-1}}{z^2+\pi^2}dz$
=\frac{\pi^{\alpha-1}2sin\pi x}{2\Gamma(\alpha-1)cos \frac{(\alpha-1)\pi}{2}}

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5楼2012-12-23 14:49:33

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Dawang16

木虫 (职业作家)

应助: 13 (小学生)
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红花: 4
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在线: 290.7小时
虫号: 1304194
注册: 2011-05-23
性别: GG
专业: 机械动力学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

不能求它的具体表达式，但是可以通过数值积分求，可以自己编程序求，或在Matlab中用quad函数组求，很简单！

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2楼2012-12-22 11:08:33

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fdliuqing

禁虫 (正式写手)

感谢参与，应助指数 +1

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3楼2012-12-22 14:08:45

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feifx2012

铁虫 (正式写手)

应助: 8 (幼儿园)
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注册: 2012-09-23
专业: 计算数学与科学工程计算

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

这是反常积分那里边的，所以呢，直接算比较难，只有通过一些软件

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4楼2012-12-22 17:25:22

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