关于完全平方数的一个命题
设[latex]f(x)=x^4+1[/latex]，定义[latex]f_0(x)=f(x)[/latex]，且对任意自然数n，定义
[latex]f_{n+1}(x)=f_n(x)+f_n^{'}(x)(n\geqslant 0)[/latex]
试证：对于任意奇整数k，任意自然数n，[latex]f_n(k)[/latex]都不是完全平方数。
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楼主的题目要求证明的比较高大上，大家不妨尝试着证明更强的结论。
1。 证明 [latex]f_n(x)\equiv f_0(x) (\mbox{mod} 4), \forall n\geq 0[/latex]
2. 证明对任意奇的整数，[latex]f_n(k)[/latex]是偶数，但不是4的倍数。
我试着求了下通项，不知道有没有用，fn(x)=x^4+4n*x^3+6n(n-1)*x^2+4n(n-1)(n-2)*x+n(n-1)(n-2)(n-3)+1
恩，只要证明[latex]f_n(k)\equiv 2(mod4)[/latex]就可以
，
由通项立即可以得到所要的结果。