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Beyond--如来金虫 (正式写手)
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关于一个指数函数的傅立叶变换 已有2人参与
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peterflyer 
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Beyond--如来: 金币+1 2015-05-31 18:22:05
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原式=N^2*Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*dx,-∞,∞}*Integral{exp[-N^2*π*y^2]*exp[-j*2*π*fy*y]*dy,-∞,∞} 令: P=Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*dx,-∞,∞} （1） Q=Integral{exp[-N^2*π*y^2]*exp[-j*2*π*fy*y]*dy,-∞,∞} （2） 故dP/dfx=Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*([-j*2*π*x)dx,-∞,∞} =j/N^2*Integral{exp[-j*2*π*fx*x]*dexp[-N^2*π*x^2],-∞,∞} =-j/N^2*Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*[-j*2*π*fx]*dx,-∞,∞} =-2*π*fx/N^2*Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*dx,-∞,∞} =-2*π*fx/N^2*P dLnP=d{LnC-π*(fx)^2/N^2] P=C*exp{-π*(fx)^2/N^2} 令fx=0,分别代入上式和（1），得： C=P(fx=0)=Integral{exp[-N^2*π*x^2]*dx,-∞,∞} =1/[N*sqrt(π)]*Integral{exp{-[N*sqrt(π)*x]^2}*d[N*sqrt(π)*x],-∞,∞} =1/[N*sqrt(π)]*sqrt(π)=1/N 故: P=1/N*exp{-π*(fx)^2/N^2} 同理：Q=1/N*exp{-π*(fy)^2/N^2} 故原式=N^2*1/N*exp{-π*(fx)^2/N^2}*1/N*exp{-π*(fy)^2/N^2} =exp{-π*[(fx)^2+(fy)^2]/N^2} |
5楼2015-05-29 23:49:00
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