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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 原子、分子&光学 » 关于一个指数函数的傅立叶变换
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Beyond--如来

金虫 (正式写手)

[求助] 关于一个指数函数的傅立叶变换 已有2人参与

再往下怎么计算啊

关于一个指数函数的傅立叶变换
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1楼 2015-05-28 23:21:42
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Beyond--如来

金虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by racoon01 at 2015-05-29 00:18:21
关键步骤是配方，中学内容。

之后就是一个简单的概率积分，也叫高斯积分，任何一本包含“定积分”的数学手册上都有的。

谢谢
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4楼2015-05-29 22:40:25
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Beyond--如来

金虫 (正式写手)
知道结果，不知道是怎么计算出来的，恳求大神帮忙！
关于一个指数函数的傅立叶变换-1
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2楼2015-05-28 23:54:14
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racoon01

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Beyond--如来: 金币+2 2015-05-31 18:21:45
关键步骤是配方，中学内容。

之后就是一个简单的概率积分，也叫高斯积分，任何一本包含“定积分”的数学手册上都有的。
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racoon
3楼2015-05-29 00:18:21
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Beyond--如来: 金币+1 2015-05-31 18:22:05
Beyond--如来: 金币+2 2015-05-31 18:29:15
原式=N^2*Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*dx,-∞,∞}*Integral{exp[-N^2*π*y^2]*exp[-j*2*π*fy*y]*dy,-∞,∞}
令:
P=Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*dx,-∞,∞}      （1）
Q=Integral{exp[-N^2*π*y^2]*exp[-j*2*π*fy*y]*dy,-∞,∞}      （2）
故dP/dfx=Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*([-j*2*π*x)dx,-∞,∞}
=j/N^2*Integral{exp[-j*2*π*fx*x]*dexp[-N^2*π*x^2],-∞,∞}
=-j/N^2*Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*[-j*2*π*fx]*dx,-∞,∞}
=-2*π*fx/N^2*Integral{exp[-N^2*π*x^2]*exp[-j*2*π*fx*x]*dx,-∞,∞}
=-2*π*fx/N^2*P
dLnP=d{LnC-π*(fx)^2/N^2]
P=C*exp{-π*(fx)^2/N^2}
令fx=0,分别代入上式和（1），得：
C=P(fx=0)=Integral{exp[-N^2*π*x^2]*dx,-∞,∞}
  =1/[N*sqrt(π)]*Integral{exp{-[N*sqrt(π)*x]^2}*d[N*sqrt(π)*x],-∞,∞}  
=1/[N*sqrt(π)]*sqrt(π)=1/N
故: P=1/N*exp{-π*(fx)^2/N^2}
同理：Q=1/N*exp{-π*(fy)^2/N^2}
故原式=N^2*1/N*exp{-π*(fx)^2/N^2}*1/N*exp{-π*(fy)^2/N^2}
=exp{-π*[(fx)^2+(fy)^2]/N^2}
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5楼2015-05-29 23:49:00
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