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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 信息科学 » 信息综合 » 为什么有傅立叶级数还需要傅立叶变换
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fengsj9898

捐助贵宾 (正式写手)

[求助] 为什么有傅立叶级数还需要傅立叶变换 已有1人参与

都说傅立叶变换是处理非周期信号的，而傅立叶级数只能处理周期信号。

但实际的信号都是有限长度的，傅立叶级数加上信号长度不就可以逼近原来的信号了吗？为什么还要搞傅立叶变换呢？
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1楼 2012-04-23 21:09:14
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bych3384

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

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相比于傅里叶级数，傅里叶变换一方面可以应用于非周期信号，另一方面在概念上也实现了升华。傅里叶变换奖时域信号转换到频域，能导出频谱的概念，更好地刻画了信号的频域特征，因而成为现代通信的基础，而傅里叶级数就实现不了这个功能，就好像有了整数概念还要有实数概念一样。其实，在频域观点上，傅里叶变换相当于实数，傅里叶级数相当于整数。
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fengsj9898
4楼2012-04-24 07:18:47
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nakada3861

新虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

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二楼说的是对的，傅里叶变换可以对非周期信号进行分析，而且可以给出频率域的估计特性，而傅里叶级数显然做不到这一点。
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10楼2012-04-25 07:05:31
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普通回帖

fengsj9898

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是不是这个原因，当需要多个信号叠加的时候，用傅里叶变化可以统一定义域，不用分区间进行讨论，直接一个代数式就全部解决了。
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2楼2012-04-23 23:48:20
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fengsj9898

捐助贵宾 (正式写手)
例如，f(x)=sin(2x)，定义域为[-pi pi]
傅里叶级数，直接就是原来表达式，如果限定定义域的话，那么在这个区间内都是精确描述的；
傅里叶变换的话，会有很多连续的频率分布，但是在定义域[-pi pi]区间内，没看到在逼近精度上有什么优势啊
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3楼2012-04-23 23:53:57
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fengsj9898

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引用回帖:
4楼: Originally posted by bych3384 at 2012-04-24 07:18:47:
相比于傅里叶级数，傅里叶变换一方面可以应用于非周期信号，另一方面在概念上也实现了升华。傅里叶变换奖时域信号转换到频域，能导出频谱的概念，更好地刻画了信号的频域特征，因而成为现代通信的基础，而傅里叶级 ...

感谢您的答复！我还有不理解的地方：
1）“更好地刻画了信号的频域特征”，这个“好”具体体现在哪里呢？例如对于非周期信号，可以限定其定义域，然后傅里叶级数可以任意的逼近这个信号，在精度上和复杂性上都比傅里叶变换更有优势；
2）可能通常信号传输的原信号都是未知形式的。但是如果对于已知形式的函数，例如y=sin（x）定义在[0,2pi]内，用傅里叶展开逼近原函数不仅准确而且不需要运算，那么我是不是就可以用其展开式在频域上分析，而不需要变换了？
谢谢！
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5楼2012-04-24 07:52:07
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fengsj9898

捐助贵宾 (正式写手)
突然想到，傅里叶级数展开得到的还是时域上的逼近的形式，并没有转换到频域空间；而傅里叶变换则是彻底将时域信号转换到频域空间，才能够在频域上对此基础上获取的信号源信息进行分析运算。也就是说要进行频域运算，必须要进行傅里叶变换，而不是傅里叶级数展开。实际上级数展开只是对时域信号逼近的一种形式，这种逼近是转换思想研究原信号的基础，是必要条件，但不是目标。因此，同样的时域函数傅里叶级数展开可以有很多形式，他们都能够逼近，但是不能够用作频域分析。也就是说逼近不是充分条件，频域分析是需要从原始信号中获取信息，然后脱离原来的空间，即不再有像我前面提到的定义域的限制，可以自由的在频域中进行各种运算分析等。
不知道是不是这个意思？请虫友们指点！
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6楼2012-04-24 07:59:32
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hwzxaww

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不是说变换后卷积可以化为相乘吗，分析起来会方便些吧。可能还有其它的优势。
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数理知识的海洋如此博大、深邃，哈哈，这一生都不会觉得无聊了。
7楼2012-04-24 17:38:30
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hhuudd123

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fengsj9898
8楼2012-04-24 20:35:37
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fengsj9898

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引用回帖:
8楼: Originally posted by hhuudd123 at 2012-04-24 20:35:37:
你说的感觉有点道理。但是傅里叶当初绝对不是这么想的，傅里叶级数将数学分析做到了极致，他不是时域上的逼近只是对能量在不同物理域上的转化。傅里叶级数感觉是参照泰勒级数的展开做的一个工作，只是加载的对象 ...

谢谢指点。
傅立叶逆变换是不是可以恢复原函数的特征？这样的话变换就没有精度上的优势了。我理解错了。
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9楼2012-04-24 23:34:27
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