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yanyun44

银虫 (小有名气)

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专业: 计算数学与科学工程计算

[求助] 如何证明下面这个复数不等式

a, b 是复数，n是正整数，|a|^(n-1) 代表a的模的n-1次方，请证明：

| |a|^(n-1)*a- |b|^(n-1)*b| <= (|a|+ |b| )^(n-1) *|a-b|

谢谢！

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1楼 2014-11-19 12:28:50

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yanyun44

银虫 (小有名气)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-19 12:59:30
不妨设 b=a\cdot z \neq 0, 且|z|\leq 1 需要证明
|1-|z|^{n-1}z|\leq (1+|z|)^{n-1}|1-z|

不妨设 |z|<1, 从而 0< 1-|z| < |1-z|.因此
|\frac{1-|z|^{n-1}z}{1-z}|\leq 1+\frac{|z|}{|1-z|}(1-|z|^{n ...

刚看到，不好意思。

多谢了，一直想的是把(|a|+ |b| )^(n-1) 除过去，然后用复数的几何意义去证，到了第三边为锐角对应的边时候就不知道怎么搞了。

您把 |a-b|除过去然后用等比数列很高明，把a,b 换成 1，z 也很妙。再次感谢。

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3楼2014-11-29 02:49:19

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
yanyun44(feixiaolin代发): 金币+7 2014-11-29 17:19:43
feixiaolin: 数学EPI+1, 第四季度 EPI 2014-12-06 19:57:14

不妨设 $b=a\cdot z \neq 0, 且|z|\leq 1$ 需要证明
$|1-|z|^{n-1}z|\leq (1+|z|)^{n-1}|1-z|$

不妨设 |z|<1, 从而 0< 1-|z| < |1-z|.因此
$|\frac{1-|z|^{n-1}z}{1-z}|\leq 1+\frac{|z|}{|1-z|}(1-|z|^{n-1})\leq 1+\frac{|z|}{1-|z|}(1-|z|^{n-1})$

而后者等于
$1+|z|(1+|z|+|z|^2+\dots+|z|^{n-2})\leq (1+|z|)^{n-1}$

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We_must_know. We_will_know.

2楼2014-11-19 12:59:30

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zhaoyingjun

引用回帖:

3楼: Originally posted by yanyun44 at 2014-11-29 02:49:19
刚看到，不好意思。

多谢了，一直想的是把(|a|+ |b| )^(n-1) 除过去，然后用复数的几何意义去证，到了第三边为锐角对应的边时候就不知道怎么搞了。

您把 |a-b|除过去然后用等比数列很高明，把a,b 换成 1， ...

4楼2014-11-29 18:20:28

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