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严岩521

铜虫 (初入文坛)

[求助] 求助，高数证明！

谢谢大神啊，资金有限，诚心一片，希望好心的大哥大姐尽快回帖，

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享受痛苦，挑战潜能
1楼2012-11-29 23:03:10
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
严岩521: 金币+5, ★★★很有帮助 2012-12-01 12:35:35
第一题：令t=1/x, 原题化为证： 当t>0时， 2t/(2+t) 以左端为例：要证2t/(2+t)0.
令f(t)=(2+t)ln(1+t)-2t, 让f(t)对t求导，得f'(t)=ln(1+t)-t/(1+t)。
有中值定理有ln(1+t)=ln(1+t)-ln(1+0)=t/(1+xi)，这里xi位于0和t之间，从而有 ln(1+t)=t/(1+xi)>t/(1+t)，即f'(t)>0, 从而当t>0时，f(t)单调增，故有
f(t)>f(0)=0。即左端不等式成立。右端不等式同理可证。

第二题有些怪：因为将a^{m+n}除到左端有：(x/a)^m(1-x/a)^n<=(m/(m+n))^m(n/m+n)^n，令u=x/a, v=m/m+n，则不等式变成:
u^m(1-u)^n<=v^m(1-v)^n, 这里u、v的地位是等价的，至多有题设条件知 v位于0和1之间，那么为什么会有个不等号存在？楼主题目里的x没有任何限制吗？
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
2楼2012-11-30 06:27:19
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leezhangyi

木虫 (著名写手)

校长

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
2楼第一题解法很好。第二题很简单，其实就是一个求极大值或者最大值问题，呵呵。
令f(x)=不等式左边=x^m(a-x)^n，求其导数得到三个驻点：x_1=0, x_2=a 和 x_3=am/(m+n)，下面的步骤说明x_3是极大值点就不说了，由此命题得证。哈哈哈
祝楼主学习顺利！
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严岩521
面向大海，春暖花开！
3楼2012-11-30 08:03:28
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严岩521

铜虫 (初入文坛)
送鲜花一朵
引用回帖:
3楼: Originally posted by leezhangyi at 2012-11-30 08:03:28
2楼第一题解法很好。第二题很简单，其实就是一个求极大值或者最大值问题，呵呵。
令f(x)=不等式左边=x^m(a-x)^n，求其导数得到三个驻点：x_1=0, x_2=a 和 x_3=am/(m+n)，下面的步骤说明x_3是极大值点就不说了，由此 ...

谢谢你哈，想给你5个金币的，可不知道为什么，给不了，以后有问题希望您还能给点建议，感激不尽，当然，金币也是不会少的
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享受痛苦，挑战潜能
4楼2012-12-01 12:37:31
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严岩521

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by archdevil at 2012-11-30 06:27:19
第一题：令t=1/x, 原题化为证： 当t>0时， 2t/(2+t)<ln(1+t)<t/sqrt(1+t)。注意到三个式子当t=0时均为0，可根据两式之差的单调性来证明。
以左端为例：要证2t/(2+t)<ln(1+t)，只需证(2+t)ln(1+t)-2t&g ...

解题中的sqrt是什么意思？
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享受痛苦，挑战潜能
5楼2012-12-01 17:03:13
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archdevil

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by 严岩521 at 2012-12-01 17:03:13
解题中的sqrt是什么意思？...

sqrt是开平方的意思。在一些软件如matlab, mathematica, 甚至excel里都是这样用的。
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鲜花因生之绚烂而凋谢，珊瑚因死之静默而永恒。
6楼2012-12-02 00:38:09
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