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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 对角化的证明
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lixuemei201

新虫 (小有名气)

[求助] 对角化的证明已有1人参与

A为n*n矩阵，存在一向量a，（A^n）a≠0，但（A^n）=0，证明A不可以对角化.               。。         我证明了A有特征值0，a不是0对应的特征向量，从而A^n只能为0，A的特征值全为0，又因为Aa不为零，所以得出代数重数不等于几何重数，说得比较简陋，.  大家对比下，我的方法对不对，反正我看不出破绽。。。如果有很新方法更好。。

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1楼2014-10-31 20:58:20
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by lixuemei201 at 2014-10-31 23:48:37
重新给出简洁版题目.  ~~~~~A为n*n矩阵，存在一向量a，（A^n-1）a≠0，但（A^n）a=0，证明A不可以对角化.

如果A 可对角化，即存在可逆阵P， 使得满足 B是对角阵，, 那么


推理要求 , 即 n>1.
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We_must_know. We_will_know.
9楼2014-11-02 09:22:40
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修竹依米

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
楼主确定题目没有写错？

题目中：（A^n）a≠0，但（A^n）=0
也就是说 A^n是零矩阵  怎么可能（A^n）a≠0？
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2楼2014-10-31 22:04:01
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普通回帖

lixuemei201

新虫 (小有名气)
好吧，我把原题打出来吧，手机党不容易.        设α是数域F上的n维线性空间v的一个线性变化，v中有一向量a，满足，α^（n-1）对a不为零，（α^n）a=0，证明不能对角化

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3楼2014-10-31 23:40:20
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 修竹依米 at 2014-10-31 22:04:01
楼主确定题目没有写错？

题目中：（A^n）a≠0，但（A^n）=0
也就是说 A^n是零矩阵  怎么可能（A^n）a≠0？

肯定可能的，你看下我的推理，而且，零化矩阵就能满足。。不一定要零矩阵。。

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4楼2014-10-31 23:43:00
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
晕死，我真的打错了题目，兄弟，我错了。。俺眼睛。。。是（A^n-1）a不为零！！！.     我错了！！

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5楼2014-10-31 23:45:33
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
重新给出简洁版题目.  ~~~~~A为n*n矩阵，存在一向量a，（A^n-1）a≠0，但（A^n）a=0，证明A不可以对角化.

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6楼2014-10-31 23:48:37
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修竹依米

木虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by lixuemei201 at 2014-10-31 23:43:00
肯定可能的，你看下我的推理，而且，零化矩阵就能满足。。不一定要零矩阵。。
...

呵呵呵
A^n是一个零矩阵
还会出现（A^n）a≠0？
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7楼2014-11-01 18:15:47
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by 修竹依米 at 2014-11-01 18:15:47
呵呵呵
A^n是一个零矩阵
还会出现（A^n）a≠0？...

。。我说了，我打错题了，且没看清楚。。手机屏幕小，蛋疼。。。看看我的思路对不对，大神

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8楼2014-11-01 19:53:22
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lixuemei201

新虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by hank612 at 2014-11-02 09:22:40
如果A 可对角化，即存在可逆阵P， 使得 P^{-1}AP=B, P^{-1}a=b满足 B是对角阵，B^{n-1}(b)\neq 0, B^n(b)=0, 那么
0\neq <B^{n-1}(b), B^{n-1}(b)> =<b, B^{2n-2}b>=0

推理要求 2n-2\geq n, 即 n ...

后面那句没怎么看懂，但是从前面推理知道这方法怎么做了。人的思维差距怎么那么大。。。    可能我的方法写的太。。。都没人回应。。满分，兄弟谢谢

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10楼2014-11-02 14:59:51
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