lixuemei201

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[求助] 对角化的证明已有1人参与

A为n*n矩阵，存在一向量a，（A^n）a≠0，但（A^n）=0，证明A不可以对角化. 。。我证明了A有特征值0，a不是0对应的特征向量，从而A^n只能为0，A的特征值全为0，又因为Aa不为零，所以得出代数重数不等于几何重数，说得比较简陋，. 大家对比下，我的方法对不对，反正我看不出破绽。。。如果有很新方法更好。。

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1楼 2014-10-31 20:58:20

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hank612

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引用回帖:

6楼: Originally posted by lixuemei201 at 2014-10-31 23:48:37
重新给出简洁版题目. ~~~~~A为n*n矩阵，存在一向量a，（A^n-1）a≠0，但（A^n）a=0，证明A不可以对角化.

如果A 可对角化，即存在可逆阵P，使得 $P^{-1}AP=B, P^{-1}a=b$ 满足 B是对角阵， $B^{n-1}(b)\neq 0, B^n(b)=0$ , 那么
$0\neq <B^{n-1}(b), B^{n-1}(b)> =<b, B^{2n-2}b>=0$

推理要求 $2n-2\geq n$ , 即 n>1.

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9楼2014-11-02 09:22:40

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修竹依米

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

楼主确定题目没有写错？

题目中：（A^n）a≠0，但（A^n）=0
也就是说 A^n是零矩阵怎么可能（A^n）a≠0？

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2楼2014-10-31 22:04:01

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lixuemei201

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好吧，我把原题打出来吧，手机党不容易. 设α是数域F上的n维线性空间v的一个线性变化，v中有一向量a，满足，α^（n-1）对a不为零，（α^n）a=0，证明不能对角化

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3楼2014-10-31 23:40:20

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 修竹依米 at 2014-10-31 22:04:01
楼主确定题目没有写错？

题目中：（A^n）a≠0，但（A^n）=0
也就是说 A^n是零矩阵怎么可能（A^n）a≠0？

肯定可能的，你看下我的推理，而且，零化矩阵就能满足。。不一定要零矩阵。。

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4楼2014-10-31 23:43:00

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