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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 考博考研 » 矩阵A的n-1次方不等于零，但n次方为零，求其特征值以及证明其不能对角化
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tomyfuture

银虫 (初入文坛)

[求助] 矩阵A的n-1次方不等于零，但n次方为零，求其特征值以及证明其不能对角化 已有2人参与

矩阵A的n-1次方不等于零，但n次方为零，求其特征值以及证明其不能对角化   手机上网页，在线求解
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1楼 2013-12-29 19:07:02
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
tomyfuture: 金币+10, ★★★很有帮助 2013-12-30 09:45:11
设 f(x) = x^n
因为 A^(n-1)不等于0，而A^n=0,
所以 f(x) = x^n是A的最小多项式，所以A的特征值全为0，又因为最小多项式有重根，所以A不可以对角化
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2楼2013-12-29 20:25:28
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tomyfuture

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by math2000 at 2013-12-29 20:25:28
设 f(x) = x^n
因为 A^(n-1)不等于0，而A^n=0,
所以 f(x) = x^n是A的最小多项式，所以A的特征值全为0，又因为最小多项式有重根，所以A不可以对角化

看起来好陌生，请问你用的是哪方面的知识及定理？

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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3楼2013-12-29 21:43:47
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我们假设A是可以对角化的，则有：A=P^-1DP，其中D是对角矩阵，由于A的n-1方式不为0的，则有：A^n=P^-1D^(n-1)P不等于0，也就是D^(n-1)不为零，则对较线元素必有非零的。而A的n次方等于0，D必定为0，与前面的矛盾。（这是我的想法，请楼主参考一下）
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
4楼2013-12-29 23:32:10
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tomyfuture

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by wshaoxin at 2013-12-29 23:32:10
我们假设A是可以对角化的，则有：A=P^-1DP，其中D是对角矩阵，由于A的n-1方式不为0的，则有：A^n=P^-1D^(n-1)P不等于0，也就是D^(n-1)不为零，则对较线元素必有非零的。而A的n次方等于0，D必定为0，与前面的矛盾。（ ...

感谢，虽然要解出特征值还得使用二楼方法，但是你的想法不错。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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5楼2013-12-30 00:14:12
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
解特征值也不一定要用最小多项式，可以假定 A 有非零特征值 g 及对应特征向量 v，则

得出矛盾，从而 A 没有非零特征值，所有特征值全为零。

线性代数的题一般都有多种方法，能掌握的尽量掌握，掌握得越多，理解就越深刻。
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6楼2013-12-30 12:08:57
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