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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 对称算子与自伴随算子的区别
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lixy1217

木虫 (著名写手)

[求助] 对称算子与自伴随算子的区别 已有1人参与

先给一下定义，设H是复希尔伯特空间，< , >表示内积运算，A是一个线性算子，D(A)是线性算子A的定义域，也是H的一个稠密子集。

如果A是对称算子，那么   <Au,v>=<u,Av>,   对 u,v属于D(A)

如果A是自伴随算子，那么  对任意u,v属于H， 关系式
<Aw,u>=<w,v>  , w属于D(A)， 意味着 u属于D(A) 且 v=Au


问题来了，关于两者的关系，书中解释是说自伴随算子都是对称算子，但对于无界算子的情形逆命题不成立。
可是我却找不到一个反例说明一个算子是对称的但不是自伴随的，同时也不知道该如何证明一个自伴随算子是有界的，希望能有高人给出相关的反例或者证明。
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
1楼 2014-09-17 17:48:12
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0102eac6.html
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2楼2014-09-17 22:07:50
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2014-09-17 22:07:50
http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0102eac6.html

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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
3楼2014-09-18 09:25:37
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by lixy1217 at 2014-09-18 09:25:37
视频已经被删除了...

http://www.guokr.com/post/383040/
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4楼2014-09-18 09:36:11
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racoon01

专家顾问 (著名写手)
考虑微商算子i\partial_x，设其作用对象是f(x). 若f(x)的定义域是整个x轴且f(x)满足边界条件f(\pm \infty)=0，则算子i\partial_x是对称算子但不是自伴算子。
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racoon
5楼2014-09-18 10:52:02
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
5楼: Originally posted by racoon01 at 2014-09-18 10:52:02
考虑微商算子i\partial_x，设其作用对象是f(x). 若f(x)的定义域是整个x轴且f(x)满足边界条件f(\pm \infty)=0，则算子i\partial_x是对称算子但不是自伴算子。

虽然这个算子是无界的，但从自伴随算子的定义来看，实在看不出它怎么就不是自伴随算子了呢？
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
6楼2014-09-19 16:47:11
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nagami

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lixy1217: 金币+3, ★有帮助 2014-09-19 22:42:32
这个问题当初讨论过，它们的区别在于定义域。伴随算子的定义域有自己的定义方式。是不是自伴随，就看两则定义域是否一致。这是我们当初的看法

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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女靠衣装；男靠金装
7楼2014-09-19 18:41:32
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lixy1217

木虫 (著名写手)
引用回帖:
7楼: Originally posted by nagami at 2014-09-19 18:41:32
这个问题当初讨论过，它们的区别在于定义域。伴随算子的定义域有自己的定义方式。是不是自伴随，就看两则定义域是否一致。这是我们当初的看法

嗯，我看的一本书上提到确实是定义域的问题，并给出了一个反例的算子  -(d/dx)^2+1/|x|^2 ， 但至于这个算子为什么不是自伴随的，却又是参考另外一本书。看来这两个算子的区别还确实是蛮复杂的。
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
8楼2014-09-19 22:45:43
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