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枫寒

铁虫 (小有名气)

[交流] 关于一维势阱波函数推导的疑惑 已有5人参与

对于无限势阱：为什么在取边界条件时要求波函数在边界处连续呢？是什么原因造成波函数必须连续了？
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1楼 2014-05-05 09:51:18
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

viobug

金虫 (小有名气)
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5楼: Originally posted by 枫寒 at 2014-05-06 11:13:17
无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。...

正因为粒子不许出现在阱外，波函数又必须连续，所以才要求边界处波函数为0。又因为边界处振幅为0，所以满足条件的波函数必然是驻波的形式，所以也就出现了量子化。
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8楼2014-05-07 20:59:11
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卡开发发

专家顾问 (著名写手)

Ab Initio Amateur
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薛定谔方程是波函数的二阶导，不连续就不可导，否则不满足薛定谔方程。
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不一定挂在论坛，计算问题问题欢迎留言。
2楼2014-05-05 10:29:45
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viobug

金虫 (小有名气)
★
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波函数的连续性，本身应是一种物理要求，不能只从数学上说。因为连续不一定可导，一阶导存在也不一定二阶导就存在。
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4楼2014-05-05 19:53:31
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卡开发发

专家顾问 (著名写手)

Ab Initio Amateur
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gmy1990: 金币+3 2014-05-08 03:42:11
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7楼: Originally posted by 枫寒 at 2014-05-07 19:34:03
那能不能解释一下为什么一维势阱的能量是量子化的？我能这样理解吗：在求解一维势阱时，假定了V（势能）=0，得到的能量E（n）=T（动能）=(n^2h^2)/(8ml^2)，即动能是量子化的。现有一能量E1<E‘<E2,E'=T+V， ...

算符假设及薛定谔方程成立，导致波函数的一阶、二阶导数均存在，故而导致波函数连续，是这样的因果。

不是说假定了势能为0，势能是个分段函数，而势阱中的部分势能就是0，两边的势垒是势能无穷大，总能负无穷大，（可以解方程得到）波函数为0，由于波函数的连续性，所以边界值就是0。量子化条件就是根据这个边界值限制推导出来的，这也是量子力学与旧量子论的区别。所以有些物理条件是推导出来的，并非作为假设。

后面的这样理解，势能的量子化不属于量子力学的范畴，其实举个很简单的例子就能明白，引力场的量子化就是量子引力理论。
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9楼2014-05-07 23:51:18
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普通回帖

iamthinking

铁杆木虫 (正式写手)

浪客琴心
★
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二阶微分方程边界条件的要求
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走马行酒醴，驱车布鱼肉~——咦，我的酒呢？
3楼2014-05-05 18:52:38
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枫寒

铁虫 (小有名气)
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4楼: Originally posted by viobug at 2014-05-05 19:53:31
波函数的连续性，本身应是一种物理要求，不能只从数学上说。因为连续不一定可导，一阶导存在也不一定二阶导就存在。

无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。
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5楼2014-05-06 11:13:17
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ptf6

木虫 (小有名气)
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
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5楼: Originally posted by 枫寒 at 2014-05-06 11:13:17
无限势阱外和势阱内相比，单个粒子只允许出现在势阱内，而势阱外没有可能，这不就意味着在边界处可以出现左右极限不相等么。那不也就可以说函数不需要在边界处保持连续么。...

左右极限不都等于0么？
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6楼2014-05-06 11:20:47
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枫寒

铁虫 (小有名气)
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6楼: Originally posted by ptf6 at 2014-05-06 11:20:47
左右极限不都等于0么？...

那能不能解释一下为什么一维势阱的能量是量子化的？我能这样理解吗：在求解一维势阱时，假定了V（势能）=0，得到的能量E（n）=T（动能）=(n^2h^2)/(8ml^2)，即动能是量子化的。现有一能量E1<E‘<E2,E'=T+V，T=E1，即E'=E1+V，V是连续的，而动能是量子化的。也就是说能量的量子化体现在动能的量子化上。可否这样理解？
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7楼2014-05-07 19:34:03
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枫寒

铁虫 (小有名气)
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9楼: Originally posted by 卡开发发 at 2014-05-07 23:51:18
算符假设及薛定谔方程成立，导致波函数的一阶、二阶导数均存在，故而导致波函数连续，是这样的因果。

不是说假定了势能为0，势能是个分段函数，而势阱中的部分势能就是0，两边的势垒是势能无穷大，总能负无穷大 ...

您的意思我可否这样理解：因是二阶导数存在，果为波函数连续，进而得到了量子化的能量？
那我有另一个问题，如果E1<E‘<E2，那E’代表什么意思，还是E‘就根本不存在？
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10楼2014-05-08 10:03:11
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