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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 怎样求解这个微分方程组？
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martialvv

铁虫 (初入文坛)

[求助] 怎样求解这个微分方程组？ 已有2人参与


其中，，x,y,z都是常数。

1-怎样计算p1, p2, p3的解析解，不是用电脑做个图像。
2-如果x=y, 结果怎么样？
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Boncourage!
1楼 2014-01-15 22:11:07
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

如果x=y，（p3）'=0, p3=c,代入（1）（2），
（p1)'=c*p2/z                                     (4)
  (p2)'=-c*p1/z                                    (5)
(4)代入（5）
  （p1)''+(c/z)^2*p1=0
故   p1=A*Cos(c/z*t)+B*Sin(c/z*t)           （6）
（6）入（1）
    p2=-A*Sin(c/z*t)+B*Cos(c/z*t)               (7)
代入边界条件：A=a，B=b
     p1=a*Cos(c/z*t)+b*Sin(c/z*t)
    p2=-a*Sin(c/z*t)+b*Cos(c/z*t)
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4楼2014-01-16 09:32:43
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laosam280

禁虫 (正式写手)
★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+2 2014-01-16 09:20:07
本帖内容被屏蔽
2楼2014-01-16 00:15:41
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
martialvv(feixiaolin代发): 金币+5 2014-01-16 09:20:19
求解过程：
由（1）p3=z*(p1)'/p2                                    (4)
(4)代入(2) 得  ：
(p2)'=-1/z*p1*z*(p1)'/p2=- p1*(p1)'/p2
故 [(p2)^2]'=-[(p1)^2]'
  (p2)^2=A-(p1)^2,  A为积分常数，由边界条件，得：
   A=a^2+b^2
    (p2)^2=a^2+b^2-(p1)^2                             (5)
由（1）p2=z*(p1)'/p3                                      (6)
(6)代入(3) 得：
(p3)^2]'=（z/y-z/x)*[(p1)^2]'
(p3)^2=B+(z/y-z/x)*(p1)^2                              
再由边界条件定出：B=c^2-(z/y-z/x)*a^2
(p3)^2=c^2-(z/y-z/x)*a^2 + (z/y-z/x)*(p1)^2                 (7)
将（5）（7）代入（1）:
dp1/{sqrt[a^2+b^2-(p1)^2]*sqrt[c^2-(z/y-z/x)*a^2 + (z/y-z/x)*(p1)^2]}=±dt/z
上式两边求不定积分，得到函数p1与自变量t的函数关系，再将p1=p1(t)代入（5）、（7），获得p2、p3与自变量t的函数关系p2(t)和p3(t)。


计算完毕
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3楼2014-01-16 09:17:39
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martialvv

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by laosam280 at 2014-01-16 00:15:41
1. 解析解是木有的，除非级数展开取渐近表达式；
2. 由于轮转对称性，该方程组的解将是周期的，有点类似于哈密顿系统的总能量；另外，若x=y，则由第一二个方程式知解将是圆周。

感谢你的回答。我很感兴趣您说的“哈密顿系统的总能量”，请问这是在哪门课或哪本书里有？我去查查资料，应该对我会有帮助。
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Boncourage!
5楼2014-01-17 17:38:03
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