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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 常微分方程解析解
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lgycjpcqu

金虫 (正式写手)

[求助] 常微分方程解析解 已有2人参与

如图所示形式的二阶常微分方程边值问题，我用MATLAB可以求得数值解，但是老板需要解析解，请教各位数学专业虫友，这个方程的解析解该怎么求，里面除了I和X其它变量全部按照常数处理，多谢啦！
常微分方程解析解
方程.jpg
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1楼 2013-12-20 15:39:09
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lgycjpcqu: 金币+10, ★★★很有帮助, 好像C[2]不等于1，形式就是比较复杂，很感谢您！ 2013-12-21 10:57:35
用mathematic
DSolve[y''[x] –q*y'[x] + p*y[x]* y'[x] == 0, y[x], x]
常微分方程解析解-1
66.JPG
图中的常数C[1], C[2]等，根据边界条件确定。
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lgycjpcqu
2楼2013-12-20 16:07:15
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lgycjpcqu

金虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-12-20 16:07:15
用mathematic
DSolve

66.JPG
图中的常数C, C等，根据边界条件确定。...

感谢您的回复，我采用MATLAB的符号运算也可以得到该结果，但是形式过于复杂，边界条件带入后无法导出C1和C2两个常数，用MATLAB的solve求解显示”Unable to find closed form solution“，还希望您再指点一下，谢谢啊！
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3楼2013-12-20 16:51:55
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
3楼: Originally posted by lgycjpcqu at 2013-12-20 16:51:55
感谢您的回复，我采用MATLAB的符号运算也可以得到该结果，但是形式过于复杂，边界条件带入后无法导出C1和C2两个常数，用MATLAB的solve求解显示”Unable to find closed form solution“，还希望您再指点一下，谢谢 ...

x=1, y=0, 易知 C[2]=-1；
代入x=0, y=1, 易知 C[1]=就好求了。
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4楼2013-12-20 17:10:17
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
lgycjpcqu: 金币+10, ★★★很有帮助, 十分感谢您给的推导，小小金币不成敬意 2013-12-21 10:58:26
令u=dI/dx, 故d^2I/dx^2=du/dI*u
带入原方程：du/dI*u=u*(q-p*I)
若u≠0,则  du=(q-p*I)*dI
     u=q*I-p*I^2/2+C'   , C'为积分常数。
所以：dI/sqrt{q*I-p*I^2/2+C'}=dx
积分后得到： sqrt(2/p)*arc{I/C-q/(C*p)}=x+D  ，
   C、D均为积分常数。
由边界条件，确定出C、D后，代回原方程即得方程的解。
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5楼2013-12-20 21:17:30
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

上贴中书写出现错误，应为：
     .........
     积分后得到： sqrt(2/p)*arcSin{I/C-q/(C*p)}=x+D  
        ..........

特此更正。
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6楼2013-12-20 21:20:25
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