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zhouwensmile

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[求助] 一个导数问题（后续）

原帖在此：http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6313597

本人觉得这个问题有必要重新立贴，来重新讨论一下：
分别为
疑问和初解
B选项疑问
A选项疑问
（注：特别整理成word文档，供大家下载观看）

疑问和初解.png

B选项疑问.png

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1楼 2013-09-04 18:06:42

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Pchief

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zhouwensmile: 回帖置顶 2013-09-06 22:01:34

证题首先要明确目标，其次根据目标选择合适的方法。

如果只是证必要性，即证 (B) 极限存在，做变量代换 $t=1-e^h$ 即可。

但是反过来，从 (B) 极限存在推出可导，就存在一个问题： $1-e^h$ 能否代表最一般的无限小，还是只能代表某些特殊的（譬如说正的）无限小？这就要看对任意无限小 $t$ ，是否存在无限小 $h$ ，使得 $t=1-e^h$ 。事实证明这种无限小 $h$ 是存在的，即 $h=\ln(1-t)$ 。这就是反推时用这一变量代换的原因。

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4楼2013-09-04 21:36:38

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weft

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
zhouwensmile: 金币+10, ★★★很有帮助, 懂了，谢谢！！！ 2013-09-06 22:00:25
zhouwensmile: 回帖置顶 2013-09-06 22:00:45

引用回帖:

5楼: Originally posted by zhouwensmile at 2013-09-05 23:20:55
A选项有点不明白：

对A选项的一点疑问.png
...

在h=0的空心邻域中, 1-cosh永远是正的, 因此复合函数f(1-cosh)只反映了原来的函数f(x)在x=0的右半邻域的取值情况, 这就导致A选项充其量最多是给出了原来函数f(x)的右导数而已, 而对于左导数一丁点都未涉及, 所以A选项不能说明f(x)双边可导.

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6楼2013-09-06 04:35:36

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Pchief

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zhouwensmile: 回帖置顶 2013-09-06 22:00:42

对于负无限小 $t$ ，不存在无限小 $h$ 使得 $t=1-\cos h$ ，这说明极限 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1-\cos h)}{1-\cos h}$ 的存在不能作为 $\lim_{t\to 0-}\frac{f(t)}{t}$ 存在的根据，当然更不能作为 $\lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t}$ 存在的根据。

但以上的说法仅仅代表一种想法，并不是正式的证明。正式的证明必须用事实说话，所以最好的方法是举反例：一个函数满足条件 (A) ，但是它在原点处不可导。例子有如 $f(x)=|x|$ 。事实永远最有说服力。

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7楼2013-09-06 12:21:51

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2楼2013-09-04 18:15:19

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这个问题，也一直困扰着我，希望有高手来解答

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3楼2013-09-04 20:58:41

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4楼: Originally posted by Pchief at 2013-09-04 21:36:38
证题首先要明确目标，其次根据目标选择合适的方法。

如果只是证必要性，即证 (B) 极限存在，做变量代换http://latex.codecogs.com/gif.latex?t=1-e^h即可。

但是反过来，从 (B) 极限存在推出可导，就存在一个 ...

A选项有点不明白：

对A选项的一点疑问.png

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5楼2013-09-05 23:20:55

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7楼: Originally posted by Pchief at 2013-09-06 12:21:51
对于负无限小 http://latex.codecogs.com/gif.latex?t ，不存在无限小http://latex.codecogs.com/gif.latex?h 使得 http://latex.codecogs.com/gif.latex?t=1-\cos h ，这说明极限 http://latex.codecogs.com/gif ...

懂了！！！谢谢

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8楼2013-09-06 21:59:09

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8楼: Originally posted by zhouwensmile at 2013-09-06 21:59:09
懂了！！！谢谢...

既然话已经说到这儿了, 我建议你注意一下C选项, 其中的h-sinh在h=0的空心邻域内是既可以取到正值也可以取到负值, 而且由于它还是严格单调的的, 所以复合函数f(h-sinh)忠实地反映了原来的函数f(x)在x=0的双边领域中的取值情况, 这和A选项是不同的, 所以现在的问题就是为什么C选项也不对呢? 如果lz把这个问题也进一步弄明白, 我想会更上一层楼的.

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9楼2013-09-07 00:04:34

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9楼: Originally posted by weft at 2013-09-07 00:04:34
既然话已经说到这儿了, 我建议你注意一下C选项, 其中的h-sinh在h=0的空心邻域内是既可以取到正值也可以取到负值, 而且由于它还是严格单调的的, 所以复合函数f(h-sinh)忠实地反映了原来的函数f(x)在x=0的双边领域中 ...

其实C选项，我没有办法判断。。。

C选项.gif

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10楼2013-09-07 22:42:19

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