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zhouwensmile

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[求助] 一个导数问题（后续）

原帖在此：http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=6313597

本人觉得这个问题有必要重新立贴，来重新讨论一下：
分别为
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（注：特别整理成word文档，供大家下载观看）

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思考之后努力

1楼 2013-09-04 18:06:42

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Pchief

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zhouwensmile: 回帖置顶 2013-09-06 22:00:42

对于负无限小 $t$ ，不存在无限小 $h$ 使得 $t=1-\cos h$ ，这说明极限 $\lim_{h\to 0}\frac{f(1-\cos h)}{1-\cos h}$ 的存在不能作为 $\lim_{t\to 0-}\frac{f(t)}{t}$ 存在的根据，当然更不能作为 $\lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{t}$ 存在的根据。

但以上的说法仅仅代表一种想法，并不是正式的证明。正式的证明必须用事实说话，所以最好的方法是举反例：一个函数满足条件 (A) ，但是它在原点处不可导。例子有如 $f(x)=|x|$ 。事实永远最有说服力。

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7楼2013-09-06 12:21:51

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zhouwensmile

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思考之后努力

2楼2013-09-04 18:15:19

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140346真友

铁虫 (初入文坛)

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这个问题，也一直困扰着我，希望有高手来解答

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3楼2013-09-04 20:58:41

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Pchief

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zhouwensmile: 回帖置顶 2013-09-06 22:01:34

证题首先要明确目标，其次根据目标选择合适的方法。

如果只是证必要性，即证 (B) 极限存在，做变量代换 $t=1-e^h$ 即可。

但是反过来，从 (B) 极限存在推出可导，就存在一个问题： $1-e^h$ 能否代表最一般的无限小，还是只能代表某些特殊的（譬如说正的）无限小？这就要看对任意无限小 $t$ ，是否存在无限小 $h$ ，使得 $t=1-e^h$ 。事实证明这种无限小 $h$ 是存在的，即 $h=\ln(1-t)$ 。这就是反推时用这一变量代换的原因。

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4楼2013-09-04 21:36:38

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