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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一个关于矩阵多项式的题目
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alinforest

新虫 (小有名气)

[求助] 请教一个关于矩阵多项式的题目

请教大家一个问题
我在学一本矩阵的英语教材 上面有道题目是这样的
Show that if p, q are scalar polynomials and
P(λ)+q(λ)=h(λ), p(λ)q(λ)=t(λ),
then, for any square matrix A;
P(A)+()=h(A), p(A)q(A)=t(A).
Verify also that if
p(λ)=q(λ)d(λ)+r(λ),
then, for any square matrix A;
p(A)=q(A)d(A)+r(A)

看起来很简单，可是却毫无头绪...
真诚请教数学系的同学
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1楼 2013-08-15 20:28:27
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
alinforest: 金币+15, 谢谢~~ 2013-08-16 09:33:44
这牵涉到你如何对待多相识了。把Lambda 当作纯粹的符号，只满足 Lamda^i * Lambda^j = Lambda^(i+j), 然后张成线性空间， 那么你把矩阵A 带入 成该符号， 那些式子自然成立。

这种情况就像组合理论中，讨论生成多项式一样，那里的乘法，微分，都是形式运算，不需要收敛性， 赋值等考虑。
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We_must_know. We_will_know.
2楼2013-08-15 22:58:01
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alinforest

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-15 22:58:01
这牵涉到你如何对待多相识了。把Lambda 当作纯粹的符号，只满足 Lamda^i * Lambda^j = Lambda^(i+j), 然后张成线性空间， 那么你把矩阵A 带入 成该符号， 那些式子自然成立。

这种情况就像组合理论中，讨论生成多 ...

感觉λ应该是A的特征值
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3楼2013-08-16 09:49:22
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by alinforest at 2013-08-16 09:49:22
感觉λ应该是A的特征值...

如果是特征值，就很象Cayley-Hamiltion 定理：如果f(x)是矩阵A的特征多项式，那么f(A)=0. 当然这定理貌似和你叙述的性质没啥关系。

Cayley-Hamiltion 定理是一个非常自然的性质。首先对一个Jordan块成立，因为这时的f(A)是幂零的。然后， 对A不妨设为Jordan标准形，对任意一个向量v, 针对 ker( (A-lambda_i)^{k_i} )作直和分解，每个分量f(A)作用上去都是零，因此f(A)v=0, 故f(A)=0.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2013-08-16 12:55:54
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alinforest

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by hank612 at 2013-08-16 12:55:54
如果是特征值，就很象Cayley-Hamiltion 定理：如果f(x)是矩阵A的特征多项式，那么f(A)=0. 当然这定理貌似和你叙述的性质没啥关系。

Cayley-Hamiltion 定理是一个非常自然的性质。首先对一个Jordan块成立，因为这 ...

说错啦 是特征根不是特征值
这么看来是很自然的 也很神奇 那这道题应该怎么show呢
我还没学到Cayley-Hamilton 定理...
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5楼2013-08-16 20:16:37
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zenmebuxing

木虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
alinforest: 金币+15 2013-08-17 12:10:46
实际上这个题目是说的 矩阵相乘可不可以交换；
对于一般方阵 A B， AB 不一定等于 BA；
但是如果是 P(A) , Q(A), 则 P(A)*Q(A) = Q(A)*P(A);
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6楼2013-08-17 10:43:13
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alinforest

新虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by zenmebuxing at 2013-08-17 10:43:13
实际上这个题目是说的 矩阵相乘可不可以交换；
对于一般方阵 A B， AB 不一定等于 BA；
但是如果是 P(A) , Q(A), 则 P(A)*Q(A) = Q(A)*P(A);

嗯 应该就是关于矩阵可不可以交换
在这个题目前面有一段话
since every square matrix commutes with itself, all polynomials in a given matrix commute with one another.
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7楼2013-08-17 12:25:26
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