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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 数学综合 » 请教一个矩阵的特征值
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bluesine

铁杆木虫 (职业作家)

科苑小木虫

[求助] 请教一个矩阵的特征值

题目：已知A是一个n*n实对称矩阵，它的n个特征值\lambda_1, ... , \lambda_n .
D=diag(d1,d2, ... ,dn) ,di>0.
（即D是对角线元素是d1~dn，其他元素为0  的矩阵）
求：D*A*D的特征值，谢谢。
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1楼2012-03-23 18:50:51
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wizzhang

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
13楼: Originally posted by ChinaAbel at 2012-04-04 22:52:55:
根据定义|λE-A|=0，0=|tE-DAD|=|D(tD^(-2)-A)D|=(d1d2...dn)^2|tD^(-2)-A|，所以D*A*D的特征值是d_1^2*\labbda_1, d_2^2*\labbda_2,……

上述推导显然是不对的。D*A*D的特征值是d_1^2*\labbda_1, d_2^2*\labbda_2,…… ------可能在一些特殊的情形下成立，例如：D为单位矩阵的倍数或者A也是对角矩阵的时候。一般情形下是不成立的，反例很容易举。例如：D=[1 0; 0 2],  A=[2 1; 1 2].
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不要茫然，勤练内功，凝练自己的核心优势，“面包会有的，牛奶也会有的”。
14楼2012-04-05 20:10:13
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wizzhang

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
bluesine: 金币+5, ★有帮助, 说到点子上了，呵呵，不困难就不会值这么多金币了，继续期待高手~ 2012-04-06 12:52:37
楼主的意思可能是希望将D*A*D的特征值用A的特征值和D的对角元表示出来，但可能很困难（除非是一些特殊的情形），也可能无解。事实上，对称矩阵D*A*D的特征值不光和A的特征值和D的对角元有关，还和A的元素有关。确切的说，若记X=D*A*D，则X(i,j)=d_i*A(i,j)*d_j，X的特征值是关于其元素X(i,j)的函数。
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15楼2012-04-05 20:30:59
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wizzhang

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

楼主你加多少金币也没有用，我说过你这个问题仅仅用A的特征值和D的对角元表示是不可能的（除非是一些特殊情形，D为单位矩阵的倍数或者A也是对角矩阵，或者1维情形）。为啥不可能呢？你研究下二维的一般情形就可以了。如设 A=[a b; b c]; D=diag{d_1,d_2},  则A的谱为『a+c+sqrt{(a-c)^2+4b^2}/2；a+c-sqrt{(a-c)^2+4b^2}/2』,类似的可以得到X=D*A*D的谱。你能看出这个函数关系出来？除非用上所有的矩阵元素。
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18楼2012-04-06 14:41:52
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wizzhang

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
19楼: Originally posted by bluesine at 2012-04-06 16:38:59:
如果A是Laplace矩阵呢，有没有可能

如果A是Laplace矩阵，则其有个0特征值，对应的特征向量为1。你可以将其看成非负矩阵试试。如果仅仅这个条件，貌似还是不太可能。你应该将A满足啥条件都列出来，这样有助于问题的解决。另外，你要求D*A*D的特征值是全部还是其中某一个？这些最好都说清楚。
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bluesine bluesine
不要茫然，勤练内功，凝练自己的核心优势，“面包会有的，牛奶也会有的”。
20楼2012-04-06 16:53:43
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wizzhang

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
22楼: Originally posted by bluesine at 2012-04-06 17:01:56:
你说的很正确，A是一个由对角线意外元素都是{0，-1}的Laplace矩阵，关心的是A的非零的最大和最小特征值

既然是这样，我估计你需要的是对其特征值界值进行估计吧。矩阵分析，特别是非负矩阵理论（Perron根）和图论中有不少这个方面的结果，楼主可以查查。
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23楼2012-04-06 17:19:24
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