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【讨论】预调件共轭梯度法（PCG） 已有4人参与
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有限元计算经常碰到大型稀疏矩阵，由于此类线性方程组通常条件数是比较大的，方程组的性态不好，所以最好用迭代方法求解，比方说是预调件共轭梯度法，但此方法在选择预调件矩阵时似乎没有一个同一的标准，大多推荐的是采用incomplete LU decomposition做为预调件矩阵。incomplete LU decomposition的计算方法似乎又有很多种。 1. incomplete LU decomposition 的计算时间应该比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出来了吗，又何必再来PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提应该是系数矩阵对称、正定吧，因为其原理是一个相当于势函数的东西取极小值。那对于非正定的系数矩阵能求解吗，我构造了几个非正定的，有的似乎是能够收敛到正确结果的。 希望各位虫用解答和讨论。 |
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27楼2011-11-14 10:10:48
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通常意义下的PCG，preconditioner只要求对称正定，这里的CC(i)只要都是正数，显然P可以用作preconditioner。但是需要知道的是，对于不同的线性方程组，preconditioner只能依照系数矩阵来做具体的选择。这里为什么这么用，针对这个代码要解决的问题，你可以看看P的应用有没有达到这样的效果： (1) 使系数矩阵的特征值聚集； (2) 改善条件数。 因为P是个简单的对角矩阵，除非系数矩阵也近似于相关的对角矩阵，否则，我更偏向于(2)。 另外，你可以让P=I（单位矩阵），这样PCG就变成标准CG了，可以对比一下，这个P有没有改善你的计算结果。 |
8楼2011-06-18 00:29:42
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9楼2011-06-18 08:58:08
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注意一点，通常选择preconditioner的时候一个常规的做法就是选择一个系数矩阵的近似，这样的话，条件预优后得到的矩阵就会接近于单位矩阵。 假定使用LU分解，然后用L和U的乘积作为P，那么实际上就是就是用系数矩阵自身作为P，亦即条件预优后的矩阵严格地等于单位矩阵。这是最理想的情况，但是，事实上这么做没有任何意义，因为已经有LU分解，那么可以直接用这个分解求解原方程组，只需要简单的向前向后代入就足够，无需使用CG这样的迭代方法。 这里使用ILU（不完全的LU分解）是因为LU分解代价太大，尤其是对于大规模线性方程组而言。ILU分解得到的L和U作乘积之后可以充当系数矩阵的近似，按照之前所说的，也就是P的一种理想选择。 你可以看看ILU分解的具体做法，Yousef Saad的Iterative methods for sparse linear systems一书里面有专门的章节介绍，有空可以看看。这是本很好的书，在作者的个人主页可以直接下载（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PS/all_pdf.zip）。 |
10楼2011-06-18 15:21:12
