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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【讨论】预调件共轭梯度法（PCG）
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匿名

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nono2009(金币+2): 鼓励交流 2011-07-01 07:12:14
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21楼2011-06-30 14:02:50
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匿名

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22楼2011-07-15 11:35:52
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saladin983

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Originally posted by mastergxm at 2011-07-15 05:35:52:
有另外一个问题，想请教一下，就是下面这个推导过程，这是别人帮我推导的。
主要是涉及变上、下限积分函数的求偏导，他说这个公式是用链式法则得到，可是我大学学链式法则是关于复合函数求偏导，没有学过这个 ...

这个形式上看起来比较复杂，我倒是没有接触过。不过考虑到u也是关于x的函数，这样的结果也很自然。可否这样考虑：
在积分上下限之间取两个常数，这样可以将积分分为三段处理，不知是否能有帮助。或者把整个积分看成一个函数J(u,zeta,h)，然后按照链式法则求偏导，似乎是能得到你要的结果。
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23楼2011-07-19 05:42:41
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匿名

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小雨萌萌(金币+2): ^_^ 2011-07-20 10:26:15
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24楼2011-07-19 09:03:39
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saladin983

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Originally posted by mastergxm at 2011-07-19 03:03:39:
“把整个积分看成一个函数J(u,zeta,h)”
这个提法的确很对。另外，公式没有写明，u是关于x,y,z的函数
前几天经过别人指点，我看了《数学分析新讲，张筑生》，上面的证明过程的确是这么讲的。谢谢指点了。图里 ...

定理的直接应用，没错。
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mastergxm
25楼2011-07-19 15:36:02
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匿名

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26楼2011-07-19 15:53:17
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匿名

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27楼2011-11-14 10:10:48
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saladin983

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27楼: Originally posted by mastergxm at 2011-11-14 04:10:48:
你好，又打扰了，还是关于CG法，我这次遇到了Bi－CGSTAB法，即稳定双共轭梯度法。wiki 是这么写的：
([url]http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E7%A8%B3%E5%AE%9A%E5%8F%8C%E5%85%B1%E8%BD%AD%E6%A2%AF%E5%BA%A6%E ...

判别条件跟平常使用的CG的并没有什么区别。比如说，这里你可以设定一个很常用的终止条件\|x_i-x_{i-1}\|_2
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28楼2011-11-14 19:14:00
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匿名

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29楼2011-11-14 20:10:22
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saladin983

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29楼: Originally posted by mastergxm at 2011-11-14 14:10:22:
你讲的的二范数那个标准似乎就是：

上图中k+1与k表示第k+1次迭代和第k次迭代。
除了这个，我看到有书中讲的判断条件还有一个是：
[eimg]30/a3/905677_13 ...

关于二范数的这个，你的理解完全正确。下面这一个，实际上就是同一准则的无穷范数版本。

一般迭代法的程序实现都会设定迭代步数上限，这个是合理的。系数矩阵对称正定的线性方程组，可以证明共轭梯度法只需要最多n步（n是方程未知量个数）就能求得方程的解。既然有这样的理论结果，那么设定一个相应的迭代步数上限时很自然的。

事实上还有这样的情况，Krylov类的迭代法通常因为用于大规模问题的求解，过多的迭代步数是不可接受的，因为每一步的迭代都是巨大的计算量。举个例子，一个简单定义在三维立方体上的热方程（heat equation), 在每个维度上取10个离散点，另外时间轴上也取十个时间点，那么需要求解的线性方程就有一万个未知量，这个离散程度显然是很低的。实际的问题中，几十万几百万的未知量恐怕也只能算入门级，更何况有时候这样的问题是需要反复计算的，代价很大，所以即便理论上你可以用迭代法求解，但是需要的步数过多，运算时间超出可承受的范围，也是被认为是失败的。这个时候设定迭代步数的上限实际上的作用是告诉我们，算法失败了，而非迭代完成。还有些算法，比如GMRES，过多的迭代步数，可能会导致内存不足，这也是必须限制迭代步数的原因之一。

现在你应该可以明白，迭代步数上限并非终止准则，而是被用作观察算法是否有效收敛的一个指标。

PS: 可否告知你的专业背景和CG类方法的大致应用方向？回帖或者站内短消息……

[ Last edited by saladin983 on 2011-11-14 at 16:01 ]
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30楼2011-11-14 21:59:45
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