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【讨论】预调件共轭梯度法（PCG） 已有4人参与
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有限元计算经常碰到大型稀疏矩阵，由于此类线性方程组通常条件数是比较大的，方程组的性态不好，所以最好用迭代方法求解，比方说是预调件共轭梯度法，但此方法在选择预调件矩阵时似乎没有一个同一的标准，大多推荐的是采用incomplete LU decomposition做为预调件矩阵。incomplete LU decomposition的计算方法似乎又有很多种。 1. incomplete LU decomposition 的计算时间应该比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出来了吗，又何必再来PCG迭代呢？ 2. 采用PCG方法的前提应该是系数矩阵对称、正定吧，因为其原理是一个相当于势函数的东西取极小值。那对于非正定的系数矩阵能求解吗，我构造了几个非正定的，有的似乎是能够收敛到正确结果的。 希望各位虫用解答和讨论。 |
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saladin983
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关于二范数的这个，你的理解完全正确。下面这一个，实际上就是同一准则的无穷范数版本。 一般迭代法的程序实现都会设定迭代步数上限，这个是合理的。系数矩阵对称正定的线性方程组，可以证明共轭梯度法只需要最多n步（n是方程未知量个数）就能求得方程的解。既然有这样的理论结果，那么设定一个相应的迭代步数上限时很自然的。 事实上还有这样的情况，Krylov类的迭代法通常因为用于大规模问题的求解，过多的迭代步数是不可接受的，因为每一步的迭代都是巨大的计算量。举个例子，一个简单定义在三维立方体上的热方程（heat equation), 在每个维度上取10个离散点，另外时间轴上也取十个时间点，那么需要求解的线性方程就有一万个未知量，这个离散程度显然是很低的。实际的问题中，几十万几百万的未知量恐怕也只能算入门级，更何况有时候这样的问题是需要反复计算的，代价很大，所以即便理论上你可以用迭代法求解，但是需要的步数过多，运算时间超出可承受的范围，也是被认为是失败的。这个时候设定迭代步数的上限实际上的作用是告诉我们，算法失败了，而非迭代完成。还有些算法，比如GMRES，过多的迭代步数，可能会导致内存不足，这也是必须限制迭代步数的原因之一。 现在你应该可以明白，迭代步数上限并非终止准则，而是被用作观察算法是否有效收敛的一个指标。 PS: 可否告知你的专业背景和CG类方法的大致应用方向？回帖或者站内短消息…… [ Last edited by saladin983 on 2011-11-14 at 16:01 ] |
30楼2011-11-14 21:59:45
saladin983
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saladin983
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