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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 计算数学 » 【讨论】预调件共轭梯度法（PCG）
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xjw0413

铜虫 (初入文坛)

[交流] 【讨论】预调件共轭梯度法（PCG） 已有4人参与

有限元计算经常碰到大型稀疏矩阵，由于此类线性方程组通常条件数是比较大的，方程组的性态不好，所以最好用迭代方法求解，比方说是预调件共轭梯度法，但此方法在选择预调件矩阵时似乎没有一个同一的标准，大多推荐的是采用incomplete LU decomposition做为预调件矩阵。incomplete LU decomposition的计算方法似乎又有很多种。
1. incomplete LU decomposition 的计算时间应该比 LU decomposition要快速的多吧，不然直接用LU decomposition不就解出来了吗，又何必再来PCG迭代呢？
2. 采用PCG方法的前提应该是系数矩阵对称、正定吧，因为其原理是一个相当于势函数的东西取极小值。那对于非正定的系数矩阵能求解吗，我构造了几个非正定的，有的似乎是能够收敛到正确结果的。

希望各位虫用解答和讨论。
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1楼 2010-09-06 22:35:02
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
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nono2009(金币+2): 鼓励应助 2011-07-01 07:10:32
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Originally posted by mastergxm at 2011-06-15 02:57:22:
你说的这种可能我同意，刚在书上看到有这种减少误差的方法。
但是我又仔细看了一下， 不是简单里除以一个最小的系数。下面图1是PCG方法迭代格式，是从一本书上粘过来的。根据我对代码的反推，发现P逆应该是图 ...

通常意义下的PCG，preconditioner只要求对称正定，这里的CC(i)只要都是正数，显然P可以用作preconditioner。但是需要知道的是，对于不同的线性方程组，preconditioner只能依照系数矩阵来做具体的选择。这里为什么这么用，针对这个代码要解决的问题，你可以看看P的应用有没有达到这样的效果：
(1) 使系数矩阵的特征值聚集；
(2) 改善条件数。

因为P是个简单的对角矩阵，除非系数矩阵也近似于相关的对角矩阵，否则，我更偏向于(2)。

另外，你可以让P=I（单位矩阵），这样PCG就变成标准CG了，可以对比一下，这个P有没有改善你的计算结果。
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8楼2011-06-18 00:29:42
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saladin983

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lovibond(金币+1): 鼓励交流 2011-06-18 10:34:45
1、还有改良条件数、数值稳定性的考虑
2、系数矩阵非正定的话，迭代过程中应该出现残量上升的情况，能够求解只能算是运气，个人以为实在迭代到负方向之前程序就已经终止。非正定的情况下通常用另一种Krylov子空间迭代法——GMRES求解。
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2楼2010-09-06 22:58:01
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xjw0413

铜虫 (初入文坛)
引用回帖:
Originally posted by saladin983 at 2010-09-06 22:58:01:
1、还有改良条件数、数值稳定性的考虑
2、系数矩阵非正定的话，迭代过程中应该出现残量上升的情况，能够求解只能算是运气，个人以为实在迭代到负方向之前程序就已经终止。非正定的情况下通常用另一种Krylov子空间 ...

“个人以为实在迭代到负方向之前程序就已经终止”，你的意思是说，设定判断标准，如果残量变大就终止程序并报错吗？
我试一试你推荐的那个方法。
谢谢你了！
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3楼2010-09-07 14:04:33
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saladin983

铁杆木虫 (正式写手)
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lovibond(金币+1): 鼓励耐心交流 2011-06-18 10:35:05
引用回帖:
Originally posted by xjw0413 at 2010-09-07 08:04:33:

“个人以为实在迭代到负方向之前程序就已经终止”，你的意思是说，设定判断标准，如果残量变大就终止程序并报错吗？
我试一试你推荐的那个方法。
谢谢你了！

在特定精度下终止程序实际上就是在一定的子空间内取得了解的近似。我的意思是你得到看似正确的解可能是因为这个子空间还没有包含任何系数矩阵的负曲率方向，这种情况下能得到满足精度要求的一个近似解似乎也很自然。一旦侦测到一个负的方向，迭代序列很可能因此发散。具体的表现是什么，还是需要比较严谨的推导。总之这种情况下用CG得到的结果是没有说服力的，这个不是改变终止准则就能修正的。
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4楼2010-09-07 16:06:00
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