关于完全平方数的若干命题01
命题01（7分）试用两种方法证明：对于任意自然数n，都有[latex]19^n+2\times 17^n[/latex]不是完全平方数。
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[latex]N \equiv (2 \cdot 8+3)^n+2 \cdot (2 \cdot 8+1)^n \equiv 3^n+2 \equiv 5,3 \pmod{8} \not\equiv 1[/latex]
[latex]N \equiv (3 \cdot 6+1)^n+2 \cdot (3 \cdot 5+2)^n \equiv 1+2^{n+1} \equiv 0,2 \pmod{3} \Rightarrow 3 \mid N \Rightarrow 9 \mid N \Rightarrow 0 \equiv N \equiv (2 \cdot 9+1)^n+2 \cdot (2 \cdot 9-1)^n \equiv 1 \pm 2 \pmod{9}[/latex]
[latex]\Rightarrow 3|N[/latex]脮芒脪禄虏陆脫脨脦脢脤芒拢卢脪禄掳茫脢脟虏禄鲁脡脕垄碌脛
脌媒脠莽n=1脢卤拢卢[latex]N=19+2\times 17=19+34=53[/latex]虏禄脢脟3碌脛卤露脢媒
，
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