一个三角形内心的命题
命题：设[latex]\triangle ABC[/latex]的三个顶点分别是A，B，C，其所对的三边边长分别是a，b，c，I是[latex]\triangle ABC[/latex]的内心。
试证：[latex]IA^2+IB^2+IC^2\geqslant (abc)^{\frac{2}{3}}[/latex]
[ Last edited by Edstrayer on 2016-2-21 at 02:58 ]
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京公网安备 11010802022153号
设内切圆半径为r,切点为E,F,G,（AEB共线，BFC共线，CGA共线）则不难用a,b,c将AE,BE,BF,FC,CG,GA分别表示出来。由r(a+b+c)=2s=(p(p-a)(p-b)(p-c))^(1/2),s为三角形面积，2p=a+b+c,再结合勾股定理可以将不等式左边用a,b,c表示出来。作代换b+c-a=x,等等。则只需证明如下不等式（见图）：
不等式.jpg
，
化为代数不等式的做法可能有点繁杂，不知有没有其他简便解法？
直接计算（过程也不复杂）可得：
[latex]IA^2+IB^2+IC^2=ab+bc+ca-\frac{6abc}{a+b+c}[/latex]
然后利用基本不等式就可导出所需要的不等式。
原来直接证明也不难，竟然可以化简成这个样子。看来是想复杂了
有时换个思路，也许问题就会简单很多呢
古典数学的基础不打牢，现代数学也学不好的