求解第四题。万分感谢，在线等。。。 48E78E057FEFFB56EAE2282A8F8F2168.jpg 返回小木虫查看更多
第四题的证明： 注意到
[latex]1-x^2\leqslant 1(\forall x\in[0,1])[/latex]
[latex]a_n=\int_0^1(1-x^2)^ndx\leqslant 1[/latex]
[latex]a_n=\int_0^1(1-x^2)^ndx=\int_0^1(1+x)^n(1-x)^ndx\geqslant\int_0^1(1-x)^ndx=\frac{1}{n+1}[/latex]
[latex]\frac{1}{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[uproot10,n]{a_n}=1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[uproot10,n]{n}=1[/latex]
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第四题的证明：
注意到
[latex]1-x^2\leqslant 1(\forall x\in[0,1])[/latex]
显然有：
[latex]a_n=\int_0^1(1-x^2)^ndx\leqslant 1[/latex]
另一方面，我们有：
[latex]a_n=\int_0^1(1-x^2)^ndx=\int_0^1(1+x)^n(1-x)^ndx\geqslant\int_0^1(1-x)^ndx=\frac{1}{n+1}[/latex]
于是综合上面两个不等式就得到：
[latex]\frac{1}{n+1}\leqslant a_n\leqslant 1[/latex]
因此，由夹逼定理就有：
[latex]\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[uproot10,n]{a_n}=1[/latex]
注：最后一步用到了极限
[latex]\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[uproot10,n]{n}=1[/latex]
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