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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 排列组合问题
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sinvay

金虫 (正式写手)

[求助] 排列组合问题已有4人参与

请教问题如下
有甲乙丙三个元素，分到n个盒子里，每个盒子里只有一个元素(三个元素之一)，分配后n个盒子形成的序列元素可以重复，但要求形成的必须有甲和乙元素
请给出公式
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1楼2015-08-21 16:11:30
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回帖置顶 ( 共有1个 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)
feixiaolin: 回帖置顶 2015-08-23 09:31:00
引用回帖:
14楼: Originally posted by sinvay at 2015-08-21 23:51:58
我自己没有捣鼓清楚这个问题
但是有几个答案供大家参考和核验
如果n=2时，是2种
如果n=3时，是12种
如果n=4时，是50种
如果n=5时，是180种

楼主, 我来交流一个简单实用的猜公式方法.

由于你已经做了最辛苦的工作, 有了序列 2,12,50,180.
有一个神器, 我在版上也多次推销了, 就是:
oeis.org

我在搜索栏里直接输入楼主的四个数字,

http://oeis.org/search?q=2%2C12% ... h&go=Search

它立刻告诉我通项公式, 稍微调整一下就是你要的答案.

网站还告诉你更多的信息, 你自己阅读吧. 至于公式的证明, 就是蕴涵在其中的. 如果楼主要装高手, 就说: 证明, 显然.

我由于经常利用这类小技巧, 居然被称为大牛, 愧不敢当.
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We_must_know. We_will_know.
17楼2015-08-22 01:33:09
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
sinvay: 金币+10, ★有帮助 2015-08-22 08:16:14
sinvay: 金币+30, ★★★很有帮助 2015-08-23 09:16:25
引用回帖:
14楼: Originally posted by sinvay at 2015-08-21 23:51:58
我自己没有捣鼓清楚这个问题
但是有几个答案供大家参考和核验
如果n=2时，是2种
如果n=3时，是12种
如果n=4时，是50种
如果n=5时，是180种

所以, 经验公式就是喽.

其实, 就是先任意排列, 3^n. 然后减去只有AC的, 2^n, 再减去只有BC的, 又一个2^n, 最后微调一下, 因为全C的排列被减了两次, 加1安慰一下.
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We_must_know. We_will_know.
16楼2015-08-22 00:54:22
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
根据上面的讨论，又算了一次，这次得到的公式是：当时


具体计算n=3，4，5时，得到12，50，180
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
19楼2015-08-22 03:44:32
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
N*(n-1)*3^(n-2).

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
3楼2015-08-21 20:20:38
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by XUYAO-2015 at 2015-08-21 16:31:03
分配好后是n个元素排列，还是取任意数值的元素排列？

我本来用手机打了很多，包括原理，一不小心弄不见了，心累，直接告诉你答案好了n*(n-1)*(n-1)

[ 发自小木虫客户端 ]
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7楼2015-08-21 22:54:26
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
25楼: Originally posted by sinvay at 2015-08-22 17:03:45
追问：问题改为
有甲乙丙三个元素，分到n个盒子里，每个盒子里只有一个元素(三个元素之一)，分配后n个盒子形成元素数为n的序列，该序列中元素可以重复，但要求形成的序列中必须有甲和乙元素或者两个甲（增加了两个 ...


楼主试试n=2,3,4时的具体数值，然后让神器告诉你答案就好了。
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We_must_know. We_will_know.
27楼2015-08-23 07:50:58
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普通回帖

XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)
分配好后是n个元素排列，还是取任意数值的元素排列？
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2楼2015-08-21 16:31:03
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sinvay

金虫 (正式写手)
我排过n=3，应该是12，楼上的算出来是18
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4楼2015-08-21 21:49:08
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sinvay

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by XUYAO-2015 at 2015-08-21 16:31:03
分配好后是n个元素排列，还是取任意数值的元素排列？

n个元素的排列
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5楼2015-08-21 22:00:09
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sinvay

金虫 (正式写手)
回复2楼是n个元素的排列
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6楼2015-08-21 22:01:37
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by XUYAO-2015 at 2015-08-21 22:54:26
我本来用手机打了很多，包括原理，一不小心弄不见了，心累，直接告诉你答案好了n*(n-1)*(n-1)
...

无聊中，分两种情况
1.只有甲乙，先放置甲的位置，甲有n个位置选择，那么乙只能从剩下的n-1个位置选。所以只有甲乙的情况种类有n*(n-1)
2.有甲乙丙，同理加上丙从甲乙选完了的剩余n-2个位置选一个，那么就是n*(n-1)*(n-2)
把1和2的情况加起来就是所有的情况，提取公因式就是n*(n-1)+n*(n-1)*(n-2)=n*(n-1)*(n-1)

[ 发自小木虫客户端 ]
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8楼2015-08-21 23:03:06
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
第一步，A元素有n种排法
第二步，B元素有n-1种排法
第三步，元素在剩余的n-2个盒子中每个盒子都有3种可能
所以，由乘法原理即知总共有种排法。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
9楼2015-08-21 23:05:30
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-21 23:05:30
第一步，A元素有n种排法
第二步，B元素有n-1种排法
第三步，C_1^3元素在剩余的n-2个盒子中每个盒子都有3种可能
所以，由乘法原理即知总共有n\cdot (n-1)\cdot 3^{n-2}种排法。

假设有ABC三个盒子，甲放在A中乙放在B中，丙放在C中，你的意思是说C这个盒子有3种可能性，分别放丙乙甲是吧，那么就有甲乙丙，甲乙乙，甲乙甲了呀！
其实是重复了，因为C盒放甲的情况，和甲有三种情况选择是一样的，假设甲一开始选择的是C，就和你认为的剩余盒子，每个盒子有三种选择是重复的
不知道我的解释你懂了没
ps:话说这是高中生的题目呀，不知楼主是否在读高中

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10楼2015-08-21 23:35:16
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