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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 排列组合问题
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sinvay

金虫 (正式写手)

[求助] 排列组合问题已有4人参与

请教问题如下
有甲乙丙三个元素，分到n个盒子里，每个盒子里只有一个元素(三个元素之一)，分配后n个盒子形成的序列元素可以重复，但要求形成的必须有甲和乙元素
请给出公式
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1楼2015-08-21 16:11:30
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)
分配好后是n个元素排列，还是取任意数值的元素排列？
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2楼2015-08-21 16:31:03
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
2楼: Originally posted by XUYAO-2015 at 2015-08-21 16:31:03
分配好后是n个元素排列，还是取任意数值的元素排列？

我本来用手机打了很多，包括原理，一不小心弄不见了，心累，直接告诉你答案好了n*(n-1)*(n-1)

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7楼2015-08-21 22:54:26
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by XUYAO-2015 at 2015-08-21 22:54:26
我本来用手机打了很多，包括原理，一不小心弄不见了，心累，直接告诉你答案好了n*(n-1)*(n-1)
...

无聊中，分两种情况
1.只有甲乙，先放置甲的位置，甲有n个位置选择，那么乙只能从剩下的n-1个位置选。所以只有甲乙的情况种类有n*(n-1)
2.有甲乙丙，同理加上丙从甲乙选完了的剩余n-2个位置选一个，那么就是n*(n-1)*(n-2)
把1和2的情况加起来就是所有的情况，提取公因式就是n*(n-1)+n*(n-1)*(n-2)=n*(n-1)*(n-1)

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8楼2015-08-21 23:03:06
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
9楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-08-21 23:05:30
第一步，A元素有n种排法
第二步，B元素有n-1种排法
第三步，C_1^3元素在剩余的n-2个盒子中每个盒子都有3种可能
所以，由乘法原理即知总共有n\cdot (n-1)\cdot 3^{n-2}种排法。

假设有ABC三个盒子，甲放在A中乙放在B中，丙放在C中，你的意思是说C这个盒子有3种可能性，分别放丙乙甲是吧，那么就有甲乙丙，甲乙乙，甲乙甲了呀！
其实是重复了，因为C盒放甲的情况，和甲有三种情况选择是一样的，假设甲一开始选择的是C，就和你认为的剩余盒子，每个盒子有三种选择是重复的
不知道我的解释你懂了没
ps:话说这是高中生的题目呀，不知楼主是否在读高中

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10楼2015-08-21 23:35:16
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)
我也是醉了，这么晚不睡，明天还要上班呐😭

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11楼2015-08-21 23:37:15
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
11楼: Originally posted by XUYAO-2015 at 2015-08-21 23:37:15
我也是醉了，这么晚不睡，明天还要上班呐😭

楼主不好意思没有搞清楚你的题目意思
首先每个盒子有三种选择方式3^n，减去不符合的
1.所有元素为同一选择是，有三种情况不符合，全为甲，全为乙，全为丙
2.所有元素只有两种选择，其中甲丙和甲乙不符合，共有2^n+2^n-4种，其中的4是指在甲丙两种组合2^n包含了全甲和全丙两种，在情况1中已经包含了故是2^n-2
所以总式为3^n-3-(2^n+2^n-4)=3^n-2^n+1

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20楼2015-08-22 11:04:06
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

那是当n≥3的情况，当n=2时，2^n-2

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21楼2015-08-22 11:10:33
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
23楼: Originally posted by sinvay at 2015-08-22 16:45:01
谢谢回复，
16楼的排除法更为巧妙和简洁...

。。

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26楼2015-08-22 19:18:58
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XUYAO-2015

铜虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

引用回帖:
25楼: Originally posted by sinvay at 2015-08-22 17:03:45
追问：问题改为
有甲乙丙三个元素，分到n个盒子里，每个盒子里只有一个元素(三个元素之一)，分配后n个盒子形成元素数为n的序列，该序列中元素可以重复，但要求形成的序列中必须有甲和乙元素或者两个甲（增加了两个 ...

3^n-2^n-n.具体分析思路，能理解清楚的，请参照之前的分类排除法

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28楼2015-08-24 13:18:03
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