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erwty

金虫 (正式写手)

[求助] 关于拉普拉斯方程的求解问题！求助 已有1人参与

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\"关于拉普拉斯方程的求解问题！求助\"

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\"关于拉普拉斯方程的求解问题！求助\"

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关于拉普拉斯方程的求解问题！求助-1
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1楼 2015-06-10 13:52:56
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oinkmasta

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
erwty: 金币+5, ★有帮助 2015-06-17 18:09:08
真抱歉，上面式子发错了，我读了一阶导数的系数了。正确的应该是：
x方向上的二阶偏导项，三个点用forward是     1*u(i,j) - 2*u(i+1,j) + 1*u(i+2,j)
                                           用backward是  1u(i-2,j) - 2*u(i-1,j) + 1*u(i,j)
y方向上的二阶偏导项，三个点用forward是     1*u(i,j) - 2*u(i,j+1) + 1*u(i,j+2)
                                           用backward是  1*u(i,j-2) - 2*u(i,j-1) + 1*u(i,j)

需要留意的是forward和backward在用点的数量相同的情况下比central低一级精确度；也就是说正比于h而不是h^2。
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16届本科在北美
3楼2015-06-11 01:48:12
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oinkmasta

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
feixiaolin: 金币+10, 2015-06应助之星 2015-07-02 12:01:52
题里给的是三个点的central difference,
x方向上的二阶偏导项是  1*u(i-1,j) - 2*u(i,j) + 1*u(i+1,j)
y方向上的二阶偏导项是  1*u(i,j-1) - 2*u(i,j) + 1*u(i,j+1)
合起来就是 1*u(i-1,j) + 1*u(i+1,j) ＋ 1*u(i,j-1) + 1*u(i,j+1) - 4*u(i,j)

边值上缺一些点，不能用central；左边和下边用forward difference，右和上用backward。
x方向上的二阶偏导项，三个点用forward是  −3/2*u(i,j) + 2*u(i+1,j) - 1/2*u(i+2,j)
                                           用backward是  −1/2*u(i-2,j) + 2*u(i-1,j) - 3/2*u(i,j)
y方向上的二阶偏导项，三个点用forward是  −3/2*u(i,j) + 2*u(i,j+1) - 1/2*u(i,j+2)
                                           用backward是  −1/2*u(i,j-2) + 2*u(i,j-1) - 3/2*u(i,j)
用这些把原来的项替换掉就可以了。

另：这个边值问题可以直接用PDE的方法，分析上有解的。
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16届本科在北美
2楼2015-06-11 01:43:13
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