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hubery.zhu

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[求助] 数分内容，多元隐函数的不等式证明已有1人参与

已知 $f(\mathbf{x})\in \mathbf{R}^{1}$ 在 $\mathbf{R}^{n}$ 上连续，其中 $\mathbf{x}\in \mathbf{R}^{n}$ 。有两个点 $\mathbf{a}\in \mathbf{R}^{n}$ 和 $\mathbf{b}\in \mathbf{R}^{n}$ ，且 $f(\mathbf{a})>f(\mathbf{b})$ 。
证明：存在 $\bar{\alpha}\in [0, 1]$ ，对于 $\forall \alpha\in[0,\bar{\alpha}]$ ， $\mathbf{x}=\alpha \mathbf{b} + (1-\alpha)\mathbf{a}$ ，有 $f(\mathbf{x})\ge f(\mathbf{b})$

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1楼 2015-04-25 18:58:31

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huiyuan2012

至尊木虫 (文坛精英)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hubery.zhu: 金币+10, ★有帮助, 多谢回复！ 2015-04-29 22:38:04

在一维直线上的证明。
证：不失一般性，不妨假设a<b。
利用连续函数的界值性定理，可知存在c属于(a,b)，使得f(a)>f（c）>=f(b)。
因为f(a)>f（c），a<c,从a到c至少有一个f（x）的单调递减区间[a,d], 在此区间内f(a)>f（d）.
而任意x属于[a,d]，均可表示为x=阿尔法*b+（1-阿尔法）*a。

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2楼2015-04-25 20:00:02

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hubery.zhu

金虫 (正式写手)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by huiyuan2012 at 2015-04-25 20:00:02
在一维直线上的证明。
证：不失一般性，不妨假设a<b。
利用连续函数的界值性定理，可知存在c属于(a,b)，使得f(a)>f（c）>=f(b)。
因为f(a)>f（c），a<c,从a到c至少有一个f（x）的单调递减区间, 在 ...

很感谢你的回复，但是在一维的情况下我已经解决了，现在想扩展到多维的情况下

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耐得住寂寞，抵的住诱惑，拥得了繁华!

3楼2015-04-25 20:49:49

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hubery.zhu

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n=1的情况下的证明可以参考：

http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=8723629

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耐得住寂寞，抵的住诱惑，拥得了繁华!

4楼2015-04-25 23:03:38

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kanger0

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【答案】应助回帖

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感谢参与，应助指数 +1
hubery.zhu: 金币+180, ★★★★★最佳答案, 非常感谢，这种构造确实非常巧妙！ 2015-04-29 22:37:43
hubery.zhu: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2015-04-29 22:38:12
feixiaolin: 金币+20, 2015第二季度应助奖 2015-07-02 12:14:44

提示: 作一元辅助函数g(y)=f(ay+b(1-y)), 接下来就变成一元函数的问题了.

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5楼2015-04-26 16:39:48

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