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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 关于凹凸函数连续性的一个疑问
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geoquality

铁虫 (初入文坛)

[求助] 关于凹凸函数连续性的一个疑问

已知一函数在闭区间I上满足 f[(x1 + x2)/2] ≤ [ f(x1) + f(x2) ]/2，
问：f(x) 在I上一定是连续函数吗？
若不是，请给出反例；若是，请给出证明。
谢！
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1楼 2011-12-27 16:48:43
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌(金币+1): 谢谢参与讨论 2011-12-28 13:12:23
反例：当x=0时，f(x)=-1，其他地方f(x)都为0
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2楼2011-12-27 17:12:51
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geoquality

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by thematicsroy at 2011-12-27 17:12:51:
反例：当x=0时，f(x)=-1，其他地方f(x)都为0

这样不满足的……
f[ ( 0 + 1)/2 ] = 0,
[ f(0) + f(1) ]/2 = -0.5
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3楼2011-12-27 17:41:16
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jiahl

金虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌(金币+1): 谢谢参与讨论 2011-12-28 13:12:36
凸函数不一定是连续的，二楼给的是一个凹函数不连续的反例，把它稍微变一下就是范例了。定义x=0时是1， x>0时是0就是反例了。
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业精于勤 荒于嬉 行成于思 毁于随
4楼2011-12-28 09:10:52
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geoquality

铁虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by jiahl at 2011-12-28 09:10:52:
凸函数不一定是连续的，二楼给的是一个凹函数不连续的反例，把它稍微变一下就是范例了。定义x=0时是1， x>0时是0就是反例了。

？ 定义x=0时是1也不行啊……
f [ (-1 + 1)/2 ] = 1；
[ f(1) + f(-1) ]/2 = 0
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5楼2011-12-28 09:58:45
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xxxfield

银虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
这个问题以前已经有人提过，搜一下吧。
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6楼2011-12-28 12:04:02
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌(金币+1): 谢谢参与讨论 2011-12-28 13:12:47
对于【0,1】内的连续的凸函数f(x),只需取
g(x)=f(x)    x属于[0,1),
      =f(1)+1, x=1

那么g（x）  仍是凸函数
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7楼2011-12-28 12:04:21
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xiangqianzsh

木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★
小雨萌萌(金币+1): 谢谢参与讨论 2011-12-28 13:12:59
对于凸函数，只能说明内点连续。
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8楼2011-12-28 12:05:50
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bsjin

金虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by thematicsroy at 2011-12-27 17:12:51:
反例：当x=0时，f(x)=-1，其他地方f(x)都为0

x1=-1,x2=1
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9楼2011-12-28 20:20:49
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geoquality

铁虫 (初入文坛)
问题基本解决。
比较好的一个反例：定义函数f(Pi) = 2*Pi, f(a * Pi+b) = 2a*Pi+b (a,b属于有理数域),对于其它的数 y,f(y) = y .
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10楼2011-12-29 16:18:50
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