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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 应用数学与力学 » 求助大家一个关于距离的问题。
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hnkfywt

木虫 (小有名气)

[求助] 求助大家一个关于距离的问题。

我在林文夫的一本书中看到的。问题大概是这样：
    我认为向量内积不能用来定义距离，因为不能满足三角不等式，必须要将内积开平方才可以定义为距离。比如在线性空间中向量X，内积为X'X不能定义为距离，但是(X'X)^1/2就可以定义为空间中的距离，因为这只是从一维，二维，。。。直至多维的自然推广而已。
    在林的这本书中，他定义了空间中任意两个向量X和Y的距离：(X-Y)'M(X-Y)，其中M是正定矩阵。我的问题是为什么这个公式可以用来定义距离？
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星星之火，可以燎原。
1楼 2013-05-30 08:31:49
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
(X-Y)'M(X-Y):这个是距离的平方!可能是写错了吧!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
4楼2013-05-30 10:55:06
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你是对的, 确实要开方.
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3楼2013-05-30 10:19:36
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普通回帖

av470463442

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
两点之间，线段最短！因此向量之间的距离可以看做是勾股定理的推广！
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我没有梦想！~
2楼2013-05-30 08:44:47
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ll3070311007

铜虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
第一次回帖，如果不对，还请见谅，毕竟自己知道的还是有限。。 我觉着楼主的问题可以从泛函分析这门课程中找到，内积空间是具有优良性质的。内积利用schwarz不等式是可以诱导出范数的，范数又可以诱导出距离。。至于楼主所说的距离，我觉着只要满足距离空间的三个定理，就可以任意定义，就是距离。。
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\
5楼2013-05-30 19:04:55
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hnkfywt

木虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by ll3070311007 at 2013-05-30 19:04:55
第一次回帖，如果不对，还请见谅，毕竟自己知道的还是有限。。 我觉着楼主的问题可以从泛函分析这门课程中找到，内积空间是具有优良性质的。内积利用schwarz不等式是可以诱导出范数的，范数又可以诱导出距离。。至于 ...

这个题是先定义距离公理，然后再根据欧式空间中距离最短，利用微积分求极值得到最小值。
我的意识是M是对称正定矩阵，为什么那个公式可以表示为距离呢？
更具体是怎么证明那个公式满足距离公理中的三角不等式？
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星星之火，可以燎原。
6楼2013-05-31 20:37:43
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weft

木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
6楼: Originally posted by hnkfywt at 2013-05-31 20:37:43
这个题是先定义距离公理，然后再根据欧式空间中距离最短，利用微积分求极值得到最小值。
我的意识是M是对称正定矩阵，为什么那个公式可以表示为距离呢？
更具体是怎么证明那个公式满足距离公理中的三角不等式？...

这个很简单, 任意对称正定矩阵都定义了一个内积, 而内积又自然地诱导了一个距离, 逻辑上就是这么回事. 证明由内积诱导的距离满足三角不等式的关键是内积满足Cauchy–Schwarz不等式. 我建议你去查线性代数的书吧, 这些东西书上都有, 你把这条线捋清楚自然就明白了.
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7楼2013-06-01 04:13:51
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wshaoxin

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

中间的矩阵M是个正定矩阵，而任意正定矩阵都可以写成M=A^{2}的形式，所以也是可以的。这种范数应该是一种加权的范数，详细的可以在《Generalized inverses: theory and computations》Guorong Wang, Yimin Wei.的27页找到。
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
8楼2013-06-02 16:17:42
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hnkfywt

木虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by weft at 2013-06-01 04:13:51
这个很简单, 任意对称正定矩阵都定义了一个内积, 而内积又自然地诱导了一个距离, 逻辑上就是这么回事. 证明由内积诱导的距离满足三角不等式的关键是内积满足Cauchy–Schwarz不等式. 我建议你去查线性代数的书吧, 这 ...

关键问题是找不到关于三角不等式证明，而且也证明不出来。你说的这个思路我也知道。大神能否给出满足三角不等式的证明？
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星星之火，可以燎原。
9楼2013-06-03 08:57:27
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hnkfywt

木虫 (小有名气)
引用回帖:
8楼: Originally posted by wshaoxin at 2013-06-02 16:17:42
中间的矩阵M是个正定矩阵，而任意正定矩阵都可以写成M=A^{2}的形式，所以也是可以的。这种范数应该是一种加权的范数，详细的可以在《Generalized inverses: theory and computations》Guorong Wang, Yimin Wei.的27 ...

这本书上有证明吗？
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星星之火，可以燎原。
10楼2013-06-03 08:58:06
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