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hnkfywt

木虫 (小有名气)

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[求助] 求助大家一个关于距离的问题。

我在林文夫的一本书中看到的。问题大概是这样：
我认为向量内积不能用来定义距离，因为不能满足三角不等式，必须要将内积开平方才可以定义为距离。比如在线性空间中向量X，内积为X'X不能定义为距离，但是(X'X)^1/2就可以定义为空间中的距离，因为这只是从一维，二维，。。。直至多维的自然推广而已。
在林的这本书中，他定义了空间中任意两个向量X和Y的距离：(X-Y)'M(X-Y)，其中M是正定矩阵。我的问题是为什么这个公式可以用来定义距离？

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星星之火，可以燎原。

1楼 2013-05-30 08:31:49

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weft

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

引用回帖:

6楼: Originally posted by hnkfywt at 2013-05-31 20:37:43
这个题是先定义距离公理，然后再根据欧式空间中距离最短，利用微积分求极值得到最小值。
我的意识是M是对称正定矩阵，为什么那个公式可以表示为距离呢？
更具体是怎么证明那个公式满足距离公理中的三角不等式？...

这个很简单, 任意对称正定矩阵都定义了一个内积, 而内积又自然地诱导了一个距离, 逻辑上就是这么回事. 证明由内积诱导的距离满足三角不等式的关键是内积满足Cauchy–Schwarz不等式. 我建议你去查线性代数的书吧, 这些东西书上都有, 你把这条线捋清楚自然就明白了.