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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 概率论与统计 » 【求助】求助一个小球与箱子的问题，大家帮忙算一下概率[结束]
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wshb0601

金虫 (小有名气)

[交流] 【求助】求助一个小球与箱子的问题，大家帮忙算一下概率[结束]

有256个不同的小球，256个箱子，每一个小球随机的放入一个箱子中，问，256个小球都放完后，每一个箱子中的球数目都是偶数的概率？

因为数字实在太大，一个一个组合计算太困难，不知道有没有一个逼近公式可以计算这个问题，或者有其他的思路没？谢谢各位

[ Last edited by wshb0601 on 2010-10-28 at 08:42 ]
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1楼2010-10-22 11:22:28
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oliyiyi

铁杆木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★
wshb0601(金币+1):谢谢参与
wuguocheng(金币+4):谢谢. 是否愿意担任数学版主. 可以和我联系 2010-10-22 19:15:13
wuguocheng(数学EPI+1):授予EPI一枚 2010-10-22 19:15:37
it seems not difficult!

P=(C^2_256)*(256^^178)/(256^^256)

思路： 把256个球两两配对共C^2_256种可能，然后吧178对球随机投入到256个箱子中。

至于计算 用随便一个数学软件即可，或者用斯特林公式逼近阶乘用计算器手算！

[ Last edited by oliyiyi on 2010-10-22 at 11:54 ]
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2楼2010-10-22 11:51:38
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wshb0601

金虫 (小有名气)
wuguocheng:学懂了就好, 有机会常来. 2010-10-22 19:16:05
引用回帖:
Originally posted by oliyiyi at 2010-10-22 11:51:38:
it seems not difficult!

P=(C^2_256)*(256^^178)/(256^^256)

思路： 把256个球两两配对共C^2_256种可能，然后吧178对球随机投入到256个箱子中。

至于计算 用随便一个数学软件即可，或者用斯特林公式逼近 ...

我觉得这个思路很好，但是计算是有问题的
根据所给定公式（128对），我用maple算了一下概率是1.81×10^(-304)；这个概率显然有问题，可以跟这个问题的一种特殊情况对比一下。
假设这256个球恰好被放入了128个箱子，每个箱子两个球，那么
箱子选择数目：C(256,128) （256个中选128个）,然后
第一个箱子球选法:C(256,2);
第二个箱子球的选法：C(254,2);
.....
最好一个箱子放最后两个球；
这种情况概率为：P=C(256,128)*C(256,2)*...*C(2,2)/256^(256)约为4.5×10^(-73)
已经比上面给出的结果大了，这还是其中一种情况，而且还有127个箱子...等情形，概率和加起来绝对会更大一些。
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3楼2010-10-22 15:20:29
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wormer

木虫 (小有名气)
★
wshb0601(金币+1):谢谢参与
引用回帖:
Originally posted by oliyiyi at 2010-10-22 11:51:38:
it seems not difficult!

P=(C^2_256)*(256^^178)/(256^^256)

思路： 把256个球两两配对共C^2_256种可能，然后吧178对球随机投入到256个箱子中。


这样的话应该在计算中出现问题，比如说1、2，3、4配对都投入一箱子与1、3，2、4配对都投入一箱子会重复计算。
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4楼2010-10-23 12:52:13
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wormer

木虫 (小有名气)
有一个想法，还没有验证，对于单个箱子来说，是奇数或者偶数的概率都是1/2,但是是不是可以认为所有的箱子是奇数还是偶数都是独立的，还没有证明。
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5楼2010-10-23 12:56:22
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wshb0601

金虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by wormer at 2010-10-23 12:56:22:
有一个想法，还没有验证，对于单个箱子来说，是奇数或者偶数的概率都是1/2,但是是不是可以认为所有的箱子是奇数还是偶数都是独立的，还没有证明。

我觉得对所有的箱子而言这个是不对的，因为最终所有箱子里面球的个数和加起来是256，如果固定了前面255个箱子的值，最后一个箱子里面球的个数就固定了，不是独立的。
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6楼2010-10-25 09:11:22
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lixy1217

木虫 (著名写手)
★
wshb0601(金币+1):谢谢参与
我也有个想法~~~
我们认为256个球是没有区别的，（虽然问题上说256个球是不同，但是不同和相同应该不会影响到最后的概率结果）于是将256个球排成一条直线，然后用255个隔板将球分成256个集合，那么每个隔板插入点必须是偶数点，也就是它左边和右边的球数都必须是偶数个，
于是我们可以把问题归结为，这255个隔板都插在偶数点的概率是多大
然后总插入点为257个（包括左右端点），偶数点有129个，所以该问题的最后概率为

（129/257）^255

应该没什么问题吧？

[ Last edited by lixy1217 on 2010-10-25 at 11:05 ]
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
7楼2010-10-25 11:02:33
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zhlwq1002

至尊木虫 (知名作家)
★
wshb0601(金币+1):谢谢参与
看的脑袋都大了
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8楼2010-10-25 11:24:00
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lixy1217

木虫 (著名写手)
wshb0601(金币+5):这个我觉得应该正确，先给5个，验证正确之后给剩下的，谢谢！ 2010-10-25 17:32:03
wshb0601(金币+10):谢谢了！ 2010-10-28 08:43:05
不好意思，我在7楼给出的答案是显然错误的，显然到不需要解释为什么是显然的

想了好久，没有想出一个简便的办法，只有用程序搞定，思路如下：
每投入一个球后，使得含奇数项的箱子数量减少或者增加一个

所以定义一个函数 a(m,k)来模拟投球的情形，其中m表示还需要投入的球的个数，k表示此时含奇数个球的箱子的数量，而函数a则表示在这种条件情形下，最后能够实现每个箱子的球数为偶数的概率。显然，m>=k，而a(256,0)就是我们要求的结果。
该函数满足如下递归式，其中n=256
a(m,k)=k!/n^k，  当m=k
a(m,k)=a(m-1,k-1)k/n+a(m-1,k+1)(n-k)/n，  当k 它的思路是，如果m=k，则剩下m个球必须分别投入到k个箱子里去才行，所以概率可直接得到
而m>k，下一个球的投入会造成两种结果，一种是减少一个奇数箱子，这种情况概率为k/n，一种是增加一个奇数箱子，概率为(n-k)/n，所以将式子递归到下一步，最后计算求得的结果为 5.9987786025125427*10^-066
注意的是，在程序计算时，不要用函数递归来算，否则你算一辈子也算不完，而要将a(m,k)用数组来表示，然后逐步求出对应值

[ Last edited by lixy1217 on 2010-10-25 at 16:26 ]
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偶尔敞开心扉，世界将不再孤独
9楼2010-10-25 16:21:23
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ustcgxd

新虫 (初入文坛)
★
wshb0601(金币+1):谢谢参与
如果小球是相同的，那么很简单（大家应该都会，就是利用 unsorted and with replacement的结果，答案是 C(3n/2-1,n-1)/C(2n-1,n-1)
C是choose function.
如果小球不同，等我想想，旁边没纸，找到纸算算。
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10楼2010-10-26 06:18:10
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