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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求助各位虫友一道求本征值的题
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酸饺子

银虫 (初入文坛)

[求助] 求助各位虫友一道求本征值的题 已有2人参与

原题见图片
http://imgsrc.baidu.com/forum/w% ... e46f21fbf09aab8.jpg
量子力学的homework, 一道纯数学的题，求解这道题的d小问。。。
翻译一下：考虑4个n×n的矩阵M1，M2，M3，M4，它们满足反对易关系（图片上的等式），那个δ函数意思是当i=j时候值为1，i≠j时候值为0. 问题是求每个矩阵的特征值和迹，并且说明n是否可以是偶数，是否可以是奇数，说明原因。
哦对了，还有那四个矩阵都是厄米矩阵，意思就是其中的元素mij=mji*，即矩阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等
题目不难，就是实在是忘了线代了，求助各位虫友啊！！！！在线等( ^_^ )

求助各位虫友一道求本征值的题
QQ截图20150315165204.png
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1楼 2015-03-15 16:21:10
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
d) Tr(MiMj)+Tr(MjMi)=2n\delta_ij = 2 Tr(MiMj). 所以， Tr(MiMj)=n \delta_ij.
当i=j时，Mi^2=I, 因为Mi 为 Hermitian matrix, 它可以对角化为Di, 所以Di^2=I. 所以Di的每个对角元素，也就是Mi的特征值为1，或-1.
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2楼2015-03-15 18:55:49
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酸饺子

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-15 18:55:49
d) Tr(MiMj)+Tr(MjMi)=2n\delta_ij = 2 Tr(MiMj). 所以， Tr(MiMj)=n \delta_ij.
当i=j时，Mi^2=I, 因为Mi 为 Hermitian matrix, 它可以对角化为Di, 所以Di^2=I. 所以Di的每个对角元素，也就是Mi的特征值为1，或- ...

请问这个式子Tr(MiMj)+Tr(MjMi)=2n\delta_ij 是怎么得出的啊？？？？线性代数忘光了都。而且我觉得不对吧，如果i≠j的话那等号右边分母不就是0了吗？
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3楼2015-03-15 19:30:02
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sskkyy

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

引用回帖:
3楼: Originally posted by 酸饺子 at 2015-03-15 19:30:02
请问这个式子Tr(MiMj)+Tr(MjMi)=2n\delta_ij 是怎么得出的啊？？？？线性代数忘光了都。而且我觉得不对吧，如果i≠j的话那等号右边分母不就是0了吗？...

这个等式是给定的，算条件的一部分，以我愚见。

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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4楼2015-03-15 22:05:27
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
3楼: Originally posted by 酸饺子 at 2015-03-15 19:30:02
请问这个式子Tr(MiMj)+Tr(MjMi)=2n\delta_ij 是怎么得出的啊？？？？线性代数忘光了都。而且我觉得不对吧，如果i≠j的话那等号右边分母不就是0了吗？...

Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B). Thus Tr(MiMj)+Tr(MjMi)= Tr(2\delta_ij I) = 2\delta_ij Tr(I) = 2n\delta_ij.
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
5楼2015-03-16 02:05:54
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酸饺子

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
4楼: Originally posted by sskkyy at 2015-03-15 22:05:27
这个等式是给定的，算条件的一部分，以我愚见。
...

那只得到了MiMj的乘积矩阵的迹啊，怎么求各自的迹呢？
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6楼2015-03-16 15:58:29
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酸饺子

银虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by zaq123321 at 2015-03-16 02:05:54
Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B). Thus Tr(MiMj)+Tr(MjMi)= Tr(2\delta_ij I) = 2\delta_ij Tr(I) = 2n\delta_ij....

原来\代表乘的意思啊……但也只是能得到MiMj的迹啊，怎么得到各自的迹呢？
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7楼2015-03-16 15:59:37
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