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yangling2007铁虫 (小有名气)
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一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙 已有1人参与
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各位，这道题是一个亲戚家小孩问了，苦思冥想很久，问了很多人都不会，有专家解答下么？感激！ 一道中学数学几何证明题.jpg |
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hank612
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
yangling2007: 金币+10, ★有帮助, 勉强能看懂，有点高深。材料学需要的知识果然包罗万象哈 2014-05-18 12:20:09
yangling2007: 金币+10, ★有帮助, 勉强能看懂，有点高深。材料学需要的知识果然包罗万象哈 2014-05-18 12:20:09
我证明不了EF 平分 DQ， 但是可以证明， 如果Q是D关于EF的对称点， 那么AQ， OI， BC三线共点。 我对辅助线一向很头疼，只会简单粗暴无脑流。利用最近比较流行的trilinear coordinates. 它比普通的笛卡尔坐标系更加有内蕴性质。参考 http://www.math.uoc.gr/~pamfilos ... ems/Trilinears.html http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html 内心 I=(1,1,1), 外心 O=(cosA, cosB, cosC)，所以直线 OI=（cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB). 注意：点 （alpha,beta, gamma) 在直线(a,b,c)上指 内积a*alpha+b*beta+c*gamma=0. 设r是内接圆半径，那么D 点的 Absolute trilinear coordinate 是 (0, 2r*cos^2(C/2), 2r*Cos^2(B/2)), 设D点垂直EF 于点M， 那么M点的 Absolute trilinear coordinate 是 （2r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2), 2r*cos(C/2)cos(A/2)sin(B/2), 2r*cos(B/2)cos(A/2)sin(C/2) ), 由于M是DQ中点，由此得到Q点的Absolute trilinear coordinate 是 （4r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2),2r*cos(C/2)sin((B-A)/2), 2r*cos(B/2)sin((C-A)/2) ) 因此 直线AQ=(0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ). 直线BC=（1，0，0）显然。 由于三线共点 充分必要条件是 行列式=0，就是三个行向量 （1，0，0）， （cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB)， (0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ) 矩阵行列式等于0。这一眼就可以看出，大概用一下三角函数的和差化积公式就好了。 |
2楼2014-05-18 06:29:55
hank612
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8楼2014-06-02 23:02:46
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