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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙
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yangling2007

铁虫 (小有名气)

[求助] 一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙 已有1人参与

各位，这道题是一个亲戚家小孩问了，苦思冥想很久，问了很多人都不会，有专家解答下么？感激！

一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙
一道中学数学几何证明题.jpg
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1楼 2014-05-13 23:35:23
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hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
yangling2007: 金币+10, ★有帮助, 勉强能看懂，有点高深。材料学需要的知识果然包罗万象哈 2014-05-18 12:20:09
我证明不了EF 平分 DQ， 但是可以证明， 如果Q是D关于EF的对称点， 那么AQ， OI， BC三线共点。

我对辅助线一向很头疼，只会简单粗暴无脑流。利用最近比较流行的trilinear coordinates. 它比普通的笛卡尔坐标系更加有内蕴性质。参考
http://www.math.uoc.gr/~pamfilos ... ems/Trilinears.html

http://mathworld.wolfram.com/TrilinearCoordinates.html

内心 I=(1,1,1), 外心 O=(cosA, cosB, cosC)，所以直线 OI=（cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB).
注意：点 （alpha,beta, gamma) 在直线(a,b,c)上指 内积a*alpha+b*beta+c*gamma=0.

设r是内接圆半径，那么D 点的 Absolute trilinear coordinate 是
(0, 2r*cos^2(C/2), 2r*Cos^2(B/2)),
设D点垂直EF 于点M， 那么M点的 Absolute trilinear coordinate 是
（2r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2), 2r*cos(C/2)cos(A/2)sin(B/2), 2r*cos(B/2)cos(A/2)sin(C/2)  ),
由于M是DQ中点，由此得到Q点的Absolute trilinear coordinate 是
（4r*cos(B/2)cos(C/2)cos((C-B)/2),2r*cos(C/2)sin((B-A)/2), 2r*cos(B/2)sin((C-A)/2)  )
因此 直线AQ=(0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ).

直线BC=（1，0，0）显然。

由于三线共点 充分必要条件是 行列式=0，就是三个行向量
（1，0，0）， （cosB-cosC, cosC-cosA, cosA-cosB)， (0, cos(B/2)sin((C-A)/2), -cos(C/2)sin((B-A)/2) ) 矩阵行列式等于0。这一眼就可以看出，大概用一下三角函数的和差化积公式就好了。
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We_must_know. We_will_know.
2楼2014-05-18 06:29:55
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
Ｔｒｉｌｉｎｅａｒ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ肯定不是初中的小朋友能玩得转的，所以必然有很精巧的答案，利用辅助线，相似，全等之类性质搞定。

不过，等上了大学以后，就知道系统地研究一个课题该从何着手了，开始喜欢框架，ｍａｃｈｉｎｅｒｙ　之类，人也越来越懒，就记住　简单　粗暴　之类的方法，咳

附上一个图吧，它几乎是三角形　三点共线，　三线共点　的集大成者，　看看小朋友对它有没有点意思
一道中学几何证明题，求助初高中专职数学教师未果，大家帮帮忙-1
三角形的奥秘.png
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We_must_know. We_will_know.
3楼2014-05-18 12:49:59
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yangling2007

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by hank612 at 2014-05-18 12:49:59
Ｔｒｉｌｉｎｅａｒ　Ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ肯定不是初中的小朋友能玩得转的，所以必然有很精巧的答案，利用辅助线，相似，全等之类性质搞定。

不过，等上了大学以后，就知道系统地研究一个课题该从何着手了，开始 ...

初中的小朋友要是能玩转这，那就真的是把我拍死在沙滩上了。数学很精妙！
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4楼2014-05-19 20:11:21
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
运用平面解析几何（高中知识范围），这只是个繁而不难的题目
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5楼2014-05-19 20:48:43
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yangling2007

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
5楼: Originally posted by liuqh at 2014-05-19 20:48:43
运用平面解析几何（高中知识范围），这只是个繁而不难的题目

不是一般繁琐，我在想，这题的本意应该是用几何的知识解决，而不是靠解析几何来完成证明。
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6楼2014-05-19 23:02:20
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Goulam

新虫 (初入文坛)
可以上东方论坛上的数学板块，里面有很多牛人，平面几何里最强的大概是老封了。
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7楼2014-05-31 01:06:59
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yangling2007

铁虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Goulam at 2014-05-31 01:06:59
可以上东方论坛上的数学板块，里面有很多牛人，平面几何里最强的大概是老封了。

亲，你可以帮忙问问不？我没注册发不了帖。感谢！
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8楼2014-06-02 23:02:46
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