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mjx150

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[求助] 书中计算式推导求助01

书中计算式推导求助：

这个式子是怎么推导出来的？
求大神解答
不胜感激

[ Last edited by feixiaolin on 2015-2-18 at 01:17 ]

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Theworstsituationbroughtoutthebestofyou.

1楼 2015-02-18 00:53:57

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Edstrayer

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mjx150(feixiaolin代发): 金币+10 2015-02-18 18:29:57

化成级数计算，利用级数

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$

即可得到所要证明的结果。

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3楼2015-02-18 03:35:14

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mjx150(feixiaolin代发): 金币+10 2015-02-18 18:30:09

引用回帖:

5楼: Originally posted by mjx150 at 2015-02-18 11:05:41
能给个详细过程吗？
...

Edstrayer 的提示相当到位啊。

(1) $\frac{e^x}{(e^x-1)^2}=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$ , 而当|z|<1时，有 $\frac{z}{(z-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} nz^n$

(2)分部积分，有 $\int x^4e^{-nx} dx=\frac{e^{-nx}}{n^5}((nx)^4+4(nx)^3+12(nx)^2+24nx+24) +C$

(3) $\int_{0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} x^4\cdot ne^{-nx}dx =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{24}{n^4}=\frac{4\pi^4}{15}$

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We_must_know. We_will_know.

6楼2015-02-18 12:12:21

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Edstrayer

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feixiaolin: 金币+5 2015-02-19 11:31:10

引用回帖:

7楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2015-02-19 00:36:53
如果x^4改为x^3，答案又是什么？

$\int_0^{+\infty}\frac{x^3e^x}{(e^x-1)^2}dx=6\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$

而 $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}=？$ 目前只知道其和是一个无理数，至于和的封闭表达式还不清楚。

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9楼2015-02-19 01:53:19

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feixiaolin

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被积式是： x^4*exp(x)/[exp(x)-1]^2 吗？
图片不太清楚

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2楼2015-02-18 01:22:10

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mjx150

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引用回帖:

2楼: Originally posted by feixiaolin at 2015-02-18 01:22:10
被积式是： x^4*exp(x)/^2 吗？
图片不太清楚

是的

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Theworstsituationbroughtoutthebestofyou.

4楼2015-02-18 11:05:21

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引用回帖:

3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-02-18 03:35:14
化成级数计算，利用级数
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}
即可得到所要证明的结果。

能给个详细过程吗？

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5楼2015-02-18 11:05:41

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如果x^4改为x^3，答案又是什么？

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7楼2015-02-19 00:36:53

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feixiaolin: 金币+2 2015-02-19 11:31:04

引用回帖:

6楼: Originally posted by hank612 at 2015-02-18 12:12:21
Edstrayer 的提示相当到位啊。

(1) \frac{e^x}{(e^x-1)^2}=\frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}, 而当|z|<1时，有 \frac{z}{(z-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} nz^n

(2)分部积分，有 \int x^4e^{-nx} dx=\frac{e^{-n ...

厉害！

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大师远去，新的一代正在成长

8楼2015-02-19 00:45:52

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3楼: Originally posted by Edstrayer at 2015-02-18 03:35:14
化成级数计算，利用级数
\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}
即可得到所要证明的结果。

可否尝试构造合适的闭合曲线，使用留数定理求解？

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PreferenceforMathematics

10楼2015-02-19 03:30:47

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