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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一 个关于e 指数的积分
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匿名

用户注销 (著名写手)
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1楼 2014-10-14 18:36:37
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
oubaixue: 金币+10, ★有帮助 2014-10-15 14:50:04
楼主写的有些问题吧？你写的是不定积分的形式，却要求积分数值，这不矛盾吗？应该是定积分吧，这样才能和π联系起来。假设积分限为0到正无穷∞,并且a>0。
令P=原积分=Integral{e^(-a*x^2)*dx , 0, ∞}
     =1/2*Integral{e^(-a*x^2)*dx , -∞, ∞}
则P^2=1/4*Integral{e^(-a*x^2)*dx , -∞, ∞}*Integral{e^(-a*y^2)*dx , -∞, ∞}
       =1/4*Double Integral{e^[-a*(x^2+y^2)*dx*dy ,x=-∞~∞,y=-∞~∞}
      将直角坐标下的二重积分变成极坐标下的形式：
原式=1/4*Double Integral{e^[-a*r^2)*r*dr*dθ ,r=0~∞,θ=0~2*π}
  =1/4*Integral{dθ,θ=0~2*π}*Integral{e^[-a*r^2)*[-1/(2*a)]*d(-a*r^2,r=0~∞)
  =1/4*2*π*1/(2*a)*1=π/(4*a)
故，原积分=1/2*sqrt(π/a)
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4楼2014-10-14 21:25:03
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
凑成正态分布概率密度函数，http://baike.baidu.com/subview/45379/45379.html，
余下的问题就好办了。
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2楼2014-10-14 20:44:56
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2634196570

铜虫 (初入文坛)
积分上下限是什么
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3楼2014-10-14 21:19:03
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
oubaixue(feixiaolin代发): 金币+10 2014-11-06 11:39:44
还可以有下面的解法，楼主：
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    • 2014-11-06 04:40:18, 31.39 K
PreferenceforMathematics
6楼2014-11-06 04:42:47
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