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【答案】应助回帖
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oubaixue: 金币+10, ★有帮助 2014-10-15 14:50:04
楼主写的有些问题吧？你写的是不定积分的形式，却要求积分数值，这不矛盾吗？应该是定积分吧，这样才能和π联系起来。假设积分限为0到正无穷∞,并且a>0。
令P=原积分=Integral{e^(-a*x^2)*dx , 0, ∞}
=1/2*Integral{e^(-a*x^2)*dx , -∞, ∞}
则P^2=1/4*Integral{e^(-a*x^2)*dx , -∞, ∞}*Integral{e^(-a*y^2)*dx , -∞, ∞}
=1/4*Double Integral{e^[-a*(x^2+y^2)*dx*dy ,x=-∞~∞,y=-∞~∞}
将直角坐标下的二重积分变成极坐标下的形式：
原式=1/4*Double Integral{e^[-a*r^2)*r*dr*dθ ,r=0~∞,θ=0~2*π}
=1/4*Integral{dθ,θ=0~2*π}*Integral{e^[-a*r^2)*[-1/(2*a)]*d(-a*r^2,r=0~∞)
=1/4*2*π*1/(2*a)*1=π/(4*a)
故，原积分=1/2*sqrt(π/a) |
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