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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 需要知道一个神奇的函数
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qingad

金虫 (小有名气)

[求助] 需要知道一个神奇的函数 已有4人参与

请问有谁知道什么函数f(x)满足下面的条件呀？
(f(x+y))^m=(f(x))^m+(f(y))^m
注意：是f(x)整体的幂
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。。。。。。
1楼 2014-09-14 18:53:13
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
你的m是个确定的数还是变数？相关的问题可以参考函数方程方面的书籍。
象形如f(x)=x^(1/m)的函数似乎就可以满足你的条件呀！
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2楼2014-09-14 19:49:09
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
2楼的答案巧，但不应该这么简单吧
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凡事，一笑而过。。。。。。
3楼2014-09-14 20:57:29
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qingad

金虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by liuqh at 2014-09-14 19:49:09
你的m是个确定的数还是变数？相关的问题可以参考函数方程方面的书籍。
象形如f(x)=x^(1/m)的函数似乎就可以满足你的条件呀！

m假设是个常数吧，但你说的那个函数，好像不满足实际需求。
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。。。。。。
4楼2014-09-15 09:49:44
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liuqh

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
4楼: Originally posted by qingad at 2014-09-15 09:49:44
m假设是个常数吧，但你说的那个函数，好像不满足实际需求。...

这个函数方程其实是比较简单的。
过程如下：
1. 假设g(x)=f(x)^m
2. 确定g(0)=0;
3. g(n)=n*g(1),
4. 运用区间套原理得到g(x)=g(1)*x
5. 最后得到f(x)=c*x^(1/m)
f(x)=x^(1/m)是一个特解，可以直接验算看看。
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5楼2014-09-15 14:39:14
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
虽然m为常数，由于它不固定，有可能为1，也可能为2，也可能为-2，因此在实数域中，纯代数式子没有满足这一条件的函数。但如果x和y分别代表两个相互垂直的矢量，而f(x)=a*x和f(y)=b*y,而[f(x+y)]^m又代表矢量之间的点乘的话，则原式是恒定成立的。
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6楼2014-09-15 15:35:57
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
令，则已知等式变为：


上式加上补充条件（f(x)连续）利用Cauchy方法就有：


所以就有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2014-09-16 10:12:52
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qingad

金虫 (小有名气)
引用回帖:
6楼: Originally posted by peterflyer at 2014-09-15 15:35:57
虽然m为常数，由于它不固定，有可能为1，也可能为2，也可能为-2，因此在实数域中，纯代数式子没有满足这一条件的函数。但如果x和y分别代表两个相互垂直的矢量，而f(x)=a*x和f(y)=b*y,而^m又代表矢量之间的点乘的话， ...

恩，谢谢，只是需要个特殊函数表达式，看来是没有这样的表达式。
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。。。。。。
8楼2014-09-16 11:11:51
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qingad

金虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by Edstrayer at 2014-09-16 10:12:52
令g(x)=f^m(x)>0，则已知等式变为：
g(x+y)=g(x)+g(y)
上式加上补充条件（f(x)连续）利用Cauchy方法就有：
g(x)=kx(k>0,x>0)
所以就有：
f(x)=k^{\frac{1}{m}}x^{\frac{1}{m}}=ax^{\frac{1}{m}}(a=k^ ...

绕来绕去，实际上就是g(x)=kx..
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。。。。。。
9楼2014-09-16 11:20:31
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