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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一个简单的矩阵行列式问题~~~
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

[求助] 求助一个简单的矩阵行列式问题~~~

已知有矩阵A,B满足：AA+I=0，AB=BA，求证det(B)>=0,

囧，看起来挺简单的题吧，就是想不起来怎么做了。。。所以特来求助各位~谢谢了
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1楼 2013-11-29 13:11:33
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回帖支持 ( 显示支持度最高的前 50 名 )

hank612

至尊木虫 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
thematicsroy: 金币+5, ★★★很有帮助, 谢谢~ 2013-12-03 18:18:09
引用回帖:
10楼: Originally posted by thematicsroy at 2013-12-01 13:55:24
忘了说了，A，B都是实矩阵。。。...

thematicsroy 加了一个超强的限制条件， 使得 maolo927的反例不构成干扰。

B的行列式来自它的特征值的乘积， 我们逐项分析。
考虑Ker( (B-lambda)^n ), 设它的维数为k, 那么这个lambda对行列式的贡献是 lambda^k 这个因子。

如果lambda是复数(不是实数), 那么由于B是实数矩阵，lambda的共轭(lambda BAR) 也以相同次数成对出现，两拨合起来对 对行列式的贡献是 |lambda|^k 这个正的因子。

如果lambda是实数, 由于AB=BA, Ker( (B-lambda)^n )是A-不变子空间。 (就是说，if (B-lambda)^n (w)=0, then  (B-lambda)^n (Aw)=0 ).
也就是说， Ker( (B-lambda)^n )可以分解成 A 的不可约不变子空间的直和。可是，由于A是实数矩阵， 它的最小多项式必须等于X^2+1, 从而它的任意一个不可约的不变子空间都是2 维的，形如(w, Aw)两个向量张成。 因此 k是偶数， 所以lambda^k 这个因子是非负的。

所以thematicsroy， Peterflyer， feixiaolin等的猜测成立。
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We_must_know. We_will_know.
12楼2013-12-02 02:13:08
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普通回帖

peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
证明：
因为AA+I=0 ，故A=A^(-1)  即det(A)≥0
又因为AB=BA，                                       （1）
  （1）式两边同左乘A^(-1)
则  B=A^(-1)BA
   （1）式两边同右乘A^(-1)
则  B=ABA^(-1)
  故 A^(-1)BA=ABA^(-1)=[A^(-1)BA]^(-1)
即  B=B^(-1)
  故 det(B)≥0

证毕。
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2楼2013-11-30 21:44:43
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 21:44:43
证明：
因为AA+I=0 ，故A=A^(-1)  即det(A)≥0
又因为AB=BA，                                       （1）
  （1）式两边同左乘A^(-1)
则  B=A^(-1)BA
   （1）式两边同右乘A^(-1)
则  B=ABA^(-1)
  故 A^ ...

有几个问题：
A=-A^(-1)?
B=B^(-1）不能推出det（B）>0吧？比如：B=diag(-1,1)=B^(-1)时
而且B=B^(-1）这个结论的前一个步骤有问题

不过还是谢谢啦~
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3楼2013-11-30 22:46:27
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
3楼: Originally posted by thematicsroy at 2013-11-30 22:46:27
有几个问题：
A=-A^(-1)?
B=B^(-1）不能推出det（B）>0吧？比如：B=diag(-1,1)=B^(-1)时
而且B=B^(-1）这个结论的前一个步骤有问题

不过还是谢谢啦~...

AA+I=0
故 AA=-I ，两边同左乘A^(-1)
A^(-1)AA=-A^(-1)I=-A^(-1)
故  A=-A^(-1)
这段有问题吗？
另由 AB=BA,说明A、B均为方阵，若方阵有逆，则其行列式不为零。
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4楼2013-11-30 23:00:41
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feixiaolin

荣誉版主 (文坛精英)

优秀版主
引用回帖:
4楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 23:00:41
AA+I=0
故 AA=-I ，两边同左乘A^(-1)
A^(-1)AA=-A^(-1)I=-A^(-1)
故  A=-A^(-1)
这段有问题吗？
另由 AB=BA,说明A、B均为方阵，若方阵有逆，则其行列式不为零。...

是否可利用同构矩阵性质？
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5楼2013-11-30 23:07:22
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
5楼: Originally posted by feixiaolin at 2013-11-30 23:07:22
是否可利用同构矩阵性质？...

这下可真不知道怎么做了，求版主指教。
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6楼2013-11-30 23:34:37
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maolo927

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
不成立。反例:
A= [i 0 ]      B= [1   0]
   [0  i]  ,      [0  -1]
满足所有条件，但
det B=-1<0
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7楼2013-12-01 08:35:22
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maolo927

银虫 (正式写手)
A=diag(i ,i)
B=diag(1 ,-1)
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8楼2013-12-01 08:39:20
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by maolo927 at 2013-12-01 08:35:22
不成立。反例:
A=       B=
     ,      
满足所有条件，但
det B=-1<0

7楼，若再加上个条件：A、B均为实矩阵，结论是否成立呢？
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9楼2013-12-01 13:06:50
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
7楼: Originally posted by maolo927 at 2013-12-01 08:35:22
不成立。反例:
A=       B=
     ,      
满足所有条件，但
det B=-1<0

忘了说了，A，B都是实矩阵。。。
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10楼2013-12-01 13:55:24
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