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thematicsroy

新虫 (小有名气)

[求助] 求助一个简单的矩阵行列式问题~~~

已知有矩阵A,B满足:AA+I=0,AB=BA,求证det(B)>=0,

囧,看起来挺简单的题吧,就是想不起来怎么做了。。。所以特来求助各位~谢谢了
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maolo927

银虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
不成立。反例:
A= [i 0 ]      B= [1   0]
   [0  i]  ,      [0  -1]
满足所有条件,但
det B=-1<0
7楼2013-12-01 08:35:22
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


【答案】应助回帖

感谢参与,应助指数 +1
证明:
因为AA+I=0 ,故A=A^(-1)  即det(A)≥0
又因为AB=BA,                                       (1)
  (1)式两边同左乘A^(-1)
则  B=A^(-1)BA
   (1)式两边同右乘A^(-1)
则  B=ABA^(-1)
  故 A^(-1)BA=ABA^(-1)=[A^(-1)BA]^(-1)
即  B=B^(-1)
  故 det(B)≥0

证毕。
2楼2013-11-30 21:44:43
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 21:44:43
证明:
因为AA+I=0 ,故A=A^(-1)  即det(A)≥0
又因为AB=BA,                                       (1)
  (1)式两边同左乘A^(-1)
则  B=A^(-1)BA
   (1)式两边同右乘A^(-1)
则  B=ABA^(-1)
  故 A^ ...

有几个问题:
A=-A^(-1)?
B=B^(-1)不能推出det(B)>0吧?比如:B=diag(-1,1)=B^(-1)时
而且B=B^(-1)这个结论的前一个步骤有问题

不过还是谢谢啦~
3楼2013-11-30 22:46:27
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer


引用回帖:
3楼: Originally posted by thematicsroy at 2013-11-30 22:46:27
有几个问题:
A=-A^(-1)?
B=B^(-1)不能推出det(B)>0吧?比如:B=diag(-1,1)=B^(-1)时
而且B=B^(-1)这个结论的前一个步骤有问题

不过还是谢谢啦~...

AA+I=0
故 AA=-I ,两边同左乘A^(-1)
A^(-1)AA=-A^(-1)I=-A^(-1)
故  A=-A^(-1)
这段有问题吗?
另由 AB=BA,说明A、B均为方阵,若方阵有逆,则其行列式不为零。
4楼2013-11-30 23:00:41
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