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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一个简单的矩阵行列式问题~~~
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thematicsroy

新虫 (小有名气)

[求助] 求助一个简单的矩阵行列式问题~~~

已知有矩阵A,B满足：AA+I=0，AB=BA，求证det(B)>=0,

囧，看起来挺简单的题吧，就是想不起来怎么做了。。。所以特来求助各位~谢谢了
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1楼 2013-11-29 13:11:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

引用回帖:
7楼: Originally posted by maolo927 at 2013-12-01 08:35:22
不成立。反例:
A=       B=
     ,      
满足所有条件，但
det B=-1<0

7楼，若再加上个条件：A、B均为实矩阵，结论是否成立呢？
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9楼2013-12-01 13:06:50
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
证明：
因为AA+I=0 ，故A=A^(-1)  即det(A)≥0
又因为AB=BA，                                       （1）
  （1）式两边同左乘A^(-1)
则  B=A^(-1)BA
   （1）式两边同右乘A^(-1)
则  B=ABA^(-1)
  故 A^(-1)BA=ABA^(-1)=[A^(-1)BA]^(-1)
即  B=B^(-1)
  故 det(B)≥0

证毕。
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2楼2013-11-30 21:44:43
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thematicsroy

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by peterflyer at 2013-11-30 21:44:43
证明：
因为AA+I=0 ，故A=A^(-1)  即det(A)≥0
又因为AB=BA，                                       （1）
  （1）式两边同左乘A^(-1)
则  B=A^(-1)BA
   （1）式两边同右乘A^(-1)
则  B=ABA^(-1)
  故 A^ ...

有几个问题：
A=-A^(-1)?
B=B^(-1）不能推出det（B）>0吧？比如：B=diag(-1,1)=B^(-1)时
而且B=B^(-1）这个结论的前一个步骤有问题

不过还是谢谢啦~
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3楼2013-11-30 22:46:27
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer
引用回帖:
3楼: Originally posted by thematicsroy at 2013-11-30 22:46:27
有几个问题：
A=-A^(-1)?
B=B^(-1）不能推出det（B）>0吧？比如：B=diag(-1,1)=B^(-1)时
而且B=B^(-1）这个结论的前一个步骤有问题

不过还是谢谢啦~...

AA+I=0
故 AA=-I ，两边同左乘A^(-1)
A^(-1)AA=-A^(-1)I=-A^(-1)
故  A=-A^(-1)
这段有问题吗？
另由 AB=BA,说明A、B均为方阵，若方阵有逆，则其行列式不为零。
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4楼2013-11-30 23:00:41
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