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thematicsroy新虫 (小有名气)
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[求助]
求助一个简单的矩阵行列式问题~~~
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已知有矩阵A,B满足：AA+I=0，AB=BA，求证det(B)>=0, 囧，看起来挺简单的题吧，就是想不起来怎么做了。。。所以特来求助各位~谢谢了 |
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hank612
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
thematicsroy: 金币+5, ★★★很有帮助, 谢谢~ 2013-12-03 18:18:09
感谢参与，应助指数 +1
thematicsroy: 金币+5, ★★★很有帮助, 谢谢~ 2013-12-03 18:18:09
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thematicsroy 加了一个超强的限制条件， 使得 maolo927的反例不构成干扰。 B的行列式来自它的特征值的乘积， 我们逐项分析。 考虑Ker( (B-lambda)^n ), 设它的维数为k, 那么这个lambda对行列式的贡献是 lambda^k 这个因子。 如果lambda是复数(不是实数), 那么由于B是实数矩阵，lambda的共轭(lambda BAR) 也以相同次数成对出现，两拨合起来对 对行列式的贡献是 |lambda|^k 这个正的因子。 如果lambda是实数, 由于AB=BA, Ker( (B-lambda)^n )是A-不变子空间。 (就是说，if (B-lambda)^n (w)=0, then (B-lambda)^n (Aw)=0 ). 也就是说， Ker( (B-lambda)^n )可以分解成 A 的不可约不变子空间的直和。可是，由于A是实数矩阵， 它的最小多项式必须等于X^2+1, 从而它的任意一个不可约的不变子空间都是2 维的，形如(w, Aw)两个向量张成。 因此 k是偶数， 所以lambda^k 这个因子是非负的。 所以thematicsroy， Peterflyer， feixiaolin等的猜测成立。 |
12楼2013-12-02 02:13:08
peterflyer 
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2楼2013-11-30 21:44:43
thematicsroy
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3楼2013-11-30 22:46:27
peterflyer
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4楼2013-11-30 23:00:41
