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关月阑珊木虫 (小有名气)
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[求助]
大家能给看看这个方程属于什么类型，应该怎么求解？
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求各位大神指点，我是工科的，这个方程是我模型之后推导出来的，需要解出x1,x2,x3,x4。但是有x1*x2和x1*x3的交叉项，这种应该怎么解决啊？ a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + a14*x4 + a15*x1*x2 + a16*x1*x3 = b1 a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + a24*x4 + a25*x1*x2 + a26*x1*x3 = b2 a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + a34*x4 + a35*x1*x2 + a36*x1*x3 = b3 a41*x1 + a42*x2 + a43*x3 + a44*x4 + a45*x1*x2 + a46*x1*x3 = b4 其中，x1,x2,x3,x4为未知数，其他参数已知 |
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aaron1988
木虫 (正式写手)
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
关月阑珊: 金币+2, ★★★很有帮助, 关于矩阵分解的这种方法我还没有往下深入，因为需要判断是否是非奇异矩阵。先谢谢先 2013-07-04 20:52:27
感谢参与，应助指数 +1
关月阑珊: 金币+2, ★★★很有帮助, 关于矩阵分解的这种方法我还没有往下深入，因为需要判断是否是非奇异矩阵。先谢谢先 2013-07-04 20:52:27
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有解析解的。 令 x = [x1 x2 x3 x4]', b =[b1 b2 b3 b4]'; 那么只要 C = 方形矩阵 [a11 到 a44]， A= 矩阵包涵[a15 到 a46] 你的上面方程就能写成x’ A x + 2Cx = b 这可以看成一个矩阵形式的一元2次方程（如果x是一维的话，上面就是ax^2+2cx=b) 接着用完全平方方式法： x' A^(1/2)' A^(1/2)x +2Cx = b => x' A^(1/2)' A^(1/2)x +2Cx + (A^(-1/2)C)'(A^(-1/2)C) = b+ (A^(-1/2)C)'(A^(-1/2)C) = b+C'A^(-1)C （A必须是full rank，不然无解） => (A^(1/2)x+ A(-1/2)C)'(A^(1/2)x+A(-1/2)C)= b+C'A^(-1)C 令 y = (A^(1/2)x+A(-1/2)C) ; 那么 y'y = b+C'A^(-1)C y = +/- (b+C'*A^(-1)*C)^1/2 x = A^(-1/2)*(-A^(-1/2)C +/- (b+C'*A^(-1)*C)^1/2) (基本上是x=-b+/- sqrt（delta）/2a) 麻烦楼主自己推一下。 |
6楼2013-07-03 11:14:08
pippi6
铁杆木虫 (著名写手)
工程和科学数值计算咨询
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【答案】应助回帖
★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
关月阑珊: 金币+4, ★★★★★最佳答案, 确实这样能做出来。过两天我可以把计算过程也放上来。先谢谢pipi6大神了 2013-07-04 20:50:48
感谢参与，应助指数 +1
关月阑珊: 金币+4, ★★★★★最佳答案, 确实这样能做出来。过两天我可以把计算过程也放上来。先谢谢pipi6大神了 2013-07-04 20:50:48
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试试newton法吧，很简单。令 f1=a11*x1 + a12*x2 + a13*x3 + a14*x4 + a15*x1*x2 + a16*x1*x3 - b1 f2=a21*x1 + a22*x2 + a23*x3 + a24*x4 + a25*x1*x2 + a26*x1*x3 - b2 f3=a31*x1 + a32*x2 + a33*x3 + a34*x4 + a35*x1*x2 + a36*x1*x3 - b3 f4=a41*x1 + a42*x2 + a43*x3 + a44*x4 + a45*x1*x2 + a46*x1*x3 - b4 A 是一个四阶矩阵 A=∂(f1,f2,f3,f4)/∂(x1,x2,x3,x4)= [A11,A12,A13,A14] [A21,A22,A23,A24] [A31,A32,A33,A34] [A41,A42,A43,A44] 给两个例子 A11=a11 + a15*x2 + a16*x3 A23=a23*x3 + a26*x1 然后求解线性方程组 A11*δx1 + A12*δx2 + A13*δx3 + A14*δx4 =-f1 A21*δx1 + A22*δx2 + A23*δx3 + A24*δx4 =-f2 A31*δx1 + A32*δx2 + A33*δx3 + A34*δx4 =-f3 A41*δx1 + A42*δx2 + A43*δx3 + A44*δx4 =-f4 然后迭代修正 x1=x1+δx1 x2=x2+δx2 x3=x3+δx3 x4=x4+δx4 记住，矩阵A在每次更新后要重新算 先给迭代初值 （0,0,0,0）试试。 你做完后会有成就感的 |
2楼2013-07-03 10:43:17
关月阑珊
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3楼2013-07-03 10:45:12
关月阑珊
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4楼2013-07-03 11:03:44