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精晶京京

新虫 (初入文坛)

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[求助] 一个矩阵证明题，求助！

A=UV’，U和V都是长度为n的向量，则A的特征值是U’V和0（n-1重）.

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1楼 2012-12-25 21:15:00

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sdcyj72

金虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

降阶定理 B（n乘m矩阵） C（m乘n矩阵）(n>=m)
|\lambda I-BC|=\lambda^{n-m}|\lambda I-CB|
前一个 I是n阶方阵
后一个 I是m阶方阵

3楼2012-12-26 08:36:15

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精晶京京

新虫 (初入文坛)

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没朋友回复下，自己顶啊！拜托了！

2楼2012-12-25 23:15:04

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soliton923

铁杆木虫 (职业作家)

数学村村长

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专业: 数学物理

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

直接手算啊~~u=(a1,a2,....an) v=(b1,b2,b3,....bn)

然后特征值是怎么算的就怎么算！！！

再注意一点，uv'的Rank是1，所以特征值0肯定是n-1重（这个只是让自己清楚，具体证明过程还是在上面过程就可以得到）

soliton;sato-theory;algebre-geometry；Random-Matrices-Theory; Riemann-Hilbert method

4楼2012-12-26 11:03:39

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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

因为rank(A)=rank(UV’)<=rank(U)=1
即矩阵A的秩为1，即A只有一个非零特征值c，
又因为A是n*n的方阵，所以有n个特征值，
由此得到A有一个非零特征值c，及n-1个零特征值
因为矩阵A的所有特征值之和等于其迹(trace)，
利用迹的性质有
c = trace(A)=trace(UV’)=trace(V’U)=V’U

5楼2012-12-26 20:28:15

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