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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一阶非线性微分方程的解
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shiwen5006

铁杆木虫 (正式写手)

奔跑的蜗牛

[求助] 求助一阶非线性微分方程的解

y'+Ay^n-B=0
求y的表达式，哪个大神帮帮忙！

[ Last edited by shiwen5006 on 2012-8-30 at 22:08 ]
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低调做人，高调做事
1楼 2012-08-30 21:59:17
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ngsefox

木虫 (小有名气)
这个帖子好老啊，今天求解动力学方程时遇到同样的问题y'=f(x)+y^n，搜索过程中路过这里。本人化学专业，本科那点高数也没好好学过，没指望自己解出来，后来到处搜索，还找了微分方程的文献来看，终于搜到了答案，回来给大家共享下吧。以下是照本宣科，本人不懂：
这里若为y'=f(x)y+y^n为Bernoulli方程，有通解；
现在的这个类似Bernoulli方程，称为Chini方程，n=0，简单；n=1为线性微分方程，也简单，n=2为Riccati方程，不会；n=3为Abel方程，不会。然后这个方程没有通解。
来源：http://www.maplesoft.com/support ... th=odeadvisor/Chini
本人能力有限只能到这里了，我自己的方程准备试错，希望楼主看到能有帮助。
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7楼2013-07-18 22:30:09
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sukiyq

木虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★
感谢参与，应助指数 +1
小雨萌萌: 金币+1, 3Q 2012-10-30 13:00:46
1/(B-Ay^n)dy=dt
把1/(B-Ay^n)分解成一系列更低次分式之和计算
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比菜鸟强一点点
2楼2012-08-31 09:03:33
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shiwen5006

铁杆木虫 (正式写手)

奔跑的蜗牛
引用回帖:
2楼: Originally posted by sukiyq at 2012-08-31 09:03:33
1/(B-Ay^n)dy=dt
把1/(B-Ay^n)分解成一系列更低次分式之和计算

我也算到这一步了，就是不知道怎样分解了，能更详细点吗？
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低调做人，高调做事
3楼2012-08-31 15:53:16
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sukiyq

木虫 (小有名气)
★ ★
小雨萌萌: 金币+2, 谢谢 2012-10-30 13:01:15
引用回帖:
3楼: Originally posted by shiwen5006 at 2012-08-31 15:53:16
我也算到这一步了，就是不知道怎样分解了，能更详细点吗？...

不能，接下来的我不会了...
B-Ay^n=0可以得到B/A=(y^n)*(e^(2i*pi))得y的n个根为:
y=(B/A)^(1/n)*(e^(2i*pi/n))
然后现在就是要把1/[(x-x1)(x-x2)...(x-xn)]分解成一系列一阶分式之和，可以归纳的来
(1)1/[(x-a)(x-b)]=(1/[(x-a)-1/(x-b))/(a-b)]
(2)1/[(x-a)(x-b)(x-c)]=(1/[(x-a)(x-b)]-1/[(x-a)(x-c)])/(b-c)就化为了(1)的形式
(3)1/[(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)]=(1/[(x-a)(x-b)(x-c)]-1/[(x-a)(x-b)(x-d)])/(c-d)就化为了(2)的形式...
个人感觉这个东西应该有一个比较漂亮的矩阵形式，但是不知道怎么弄出来
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比菜鸟强一点点
4楼2012-08-31 17:16:09
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